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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Di 16.06.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Seien f,g: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC [/mm] holomorphe Funktionen mit f(z)=g(1/z) für alle z [mm] \in \IC*. [/mm] Zeige, dass f und g konstant sind. |
Hallo,
sonderlich viel ist mir zu obiger Aufgabe nicht eingefallen. Ich schätze mal stark dass man den Satz von Liouville anwenden muss. d.h. es wäre zu zeigen, dass f und g ganze Funktionen sind, die beschrankt sind. Dass f ganz ist, ist klar. Aber der Rest...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Di 16.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Seien f,g: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] holomorphe Funktionen mit
> f(z)=g(1/z) für alle z [mm]\in \IC*.[/mm]
Da steht wohl [mm] $\IC \setminus \{0\}$
[/mm]
> Zeige, dass f und g
> konstant sind.
> Hallo,
>
> sonderlich viel ist mir zu obiger Aufgabe nicht
> eingefallen. Ich schätze mal stark dass man den Satz von
> Liouville anwenden muss. d.h. es wäre zu zeigen, dass f
> und g ganze Funktionen sind, die beschrankt sind. Dass f
> ganz ist, ist klar. Aber der Rest...
g ist nach Vor. auch eine ganze Funktion ! Von dieser sei
[mm] g(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n
[/mm]
die Potenzreihenentwicklung auf [mm] \IC. [/mm] Für z [mm] \ne [/mm] 0 ist dann
[mm] $f(z)=g(1/z)=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{a_n}{z^n}=a_0+a_1/z+a_2/z^2+...$.
[/mm]
Da f ganz ist muss aber nun gelten: [mm] a_1=a_2=... [/mm] = ??
Siehst Du nun, dass f und g konstant sind ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 16.06.2015 | | Autor: | Trikolon |
Dann muss gelten [mm] a_1=a_2=..=0
[/mm]
D.h. [mm] f(z)=g(1/z)=a_0, [/mm] also konstant. Da hat man aber doch jetzt den Satz von Liouville gar nicht gebraucht, oder? Unser Donzent meinte, man solle den dort anwenden..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Di 16.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dann muss gelten [mm]a_1=a_2=..=0[/mm]
Ja
>
> D.h. [mm]f(z)=g(1/z)=a_0,[/mm] also konstant. Da hat man aber doch
> jetzt den Satz von Liouville gar nicht gebraucht, oder?
Nö.
> Unser Donzent meinte, man solle den dort anwenden..
Kann man auch mit Liouville machen:
Es ist [mm] \limes_{|z| \rightarrow\infty}|f(z)|=\limes_{|z| \rightarrow\infty}|g(1/z)|=|g(0)|.
[/mm]
Damit ex. ein r>0 mit
(1) $|f(z)| [mm] \le [/mm] |g(0)|+1$ für alle z mit |z|>r.
Die Menge [mm] K:=\{z: |z| \le r\} [/mm] ist kompakt, somit:
(2) f ist auf K beschränkt.
Aus (1) und (2): f ist auf [mm] \IC [/mm] beschränkt.
FRED
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