Lip. /glm. (Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:20 Mi 06.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Seien D [mm] \subset \IR [/mm] und [mm] f_{n} [/mm] : D [mm] \to \IR, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] so daß die Funktionenfolge [mm] (f_{n})_{n \in \IN} [/mm] in D gleichmäßig
konvergiert und f = lim [mm] f_{n} [/mm] (für n gegen unendlich)
fn die Grenzfunktion ist. Aus der Vorlesung ist bekannt, daß sich
unter dieser Voraussetzung die Eigenschaft, stetig zu sein, von der Funktionenfolge auf die
Grenzfunktion vererbt. Untersuchen Sie, ob dies auch mit gleichm¨äßig stetig bzw. Lipschitzstetig
an Stelle von stetig gilt, d. h. beweisen oder widerlegen Sie die Aussagen
(a) fn gleichmäßig stetig für alle n 2 N [mm] \Rightarrow [/mm] f gleichmäßig stetig.
(b) [mm] f_{n} [/mm] Lipschitz-stetig für alle n 2 N [mm] \Rightarrow [/mm] f Lipschitz-stetig.
(c) [mm] f_{n} [/mm] Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante L für alle n [mm] \in \IN \Rightarrow [/mm] f Lipschitz-stetig. (mit welcher Lipschitz-Konstante?) |
Hallo.
Kann mir da vllt. helfen, wie man da rangehn könnte.
Komme da irgendwie garnicht klar. Hab auch gar keinen Ansatz :(
Bin sehr dankbar für Hilfe.
Gruß
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:34 Mi 06.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..vllt wäre es ja zum Anfang gut, wenn ich wüsste, ob ichs beweisen oder widerlegen müsste.
Bei a) würde ich salopp sagen, dass es falsch ist. Ich kann mir das nicht vorstellen. Und einen vernünftigen Beweis kriege ich da auch nicht hin. b) und c) sind bestimmt wahr.
Kann mir das jemand denn bestätigen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 06.04.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hab jetzt bei der c) folgendes gemacht.
Dazu muss ich sagen, dass ich b) machen wollte und dann aber beim Ergebnis an c) gedacht habe xD
Also:
Vor.:
[mm] |f_{n}(x) [/mm] - [mm] f_{n}(y)| \le [/mm] |x-y|
[mm] |f_{n}(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |f_{n}(y)-f(y)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
zz: |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] |x-y|
Bew.
|f(x)-f(y)|
= [mm] |f(x)-f_{n}(y)+f_{n}(y) [/mm] - f(y)|
[mm] \le |f(x)-f_{n}(y)|+|f_{n}(y) [/mm] - f(y)|
[mm] \le [/mm] |x-y| + |x-y|
= 2|x-y|
So, und da nun eine 2 dasteht, dachte ich an c). Wäre jetzt die L.Konstante 2 oder wie?
Das Ganze scheint mir als Beweis aber zu einfach. Oder ich hab viel dazu gelernt. naja xD
Aber so ganz sehe ich den Unterschied zwischen b) und c), also von der Aufgabe, irgendwie nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Fr 08.04.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hab jetzt bei der c) folgendes gemacht.
>
> Dazu muss ich sagen, dass ich b) machen wollte und dann
> aber beim Ergebnis an c) gedacht habe xD
>
> Also:
>
> Vor.:
>
> [mm]|f_{n}(x)[/mm] - [mm]f_{n}(y)| \le[/mm] |x-y|
>
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]|f_{n}(y)-f(y)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> zz: |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] |x-y|
>
>
> Bew.
>
> |f(x)-f(y)|
>
> = [mm]|f(x)-f_{n}(y)+f_{n}(y)[/mm] - f(y)|
>
> [mm]\le |f(x)-f_{n}(y)|+|f_{n}(y)[/mm] - f(y)|
sollte man hier nicht noch
[mm]\le |f(x)-f(y)+f(y)-f_{n}(y)|+|f_{n}(y)[/mm] - f(y)|
einfügen?
>
> [mm]\le[/mm] |x-y| + |x-y|
müsste es hier nicht [mm]\le[/mm] |x-y| + 2 [mm]\varepsilon[/mm] für genügend große n sein?
>
> = 2|x-y|
>
> So, und da nun eine 2 dasteht, dachte ich an c). Wäre
> jetzt die L.Konstante 2 oder wie?
>
> Das Ganze scheint mir als Beweis aber zu einfach. Oder ich
> hab viel dazu gelernt. naja xD
>
> Aber so ganz sehe ich den Unterschied zwischen b) und c),
> also von der Aufgabe, irgendwie nicht
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Fr 08.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hab jetzt bei der c) folgendes gemacht.
>
> Dazu muss ich sagen, dass ich b) machen wollte und dann
> aber beim Ergebnis an c) gedacht habe xD
>
> Also:
>
> Vor.:
>
> [mm]|f_{n}(x)[/mm] - [mm]f_{n}(y)| \le[/mm] |x-y|
>
> [mm]|f_{n}(x)-f(x)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]|f_{n}(y)-f(y)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> zz: |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm] |x-y|
>
>
> Bew.
>
> |f(x)-f(y)|
>
> = [mm]|f(x)-f_{n}(y)+f_{n}(y)[/mm] - f(y)|
>
> [mm]\le |f(x)-f_{n}(y)|+|f_{n}(y)[/mm] - f(y)|
>
> [mm]\le[/mm] |x-y| + |x-y|
>
> = 2|x-y|
>
> So, und da nun eine 2 dasteht, dachte ich an c). Wäre
> jetzt die L.Konstante 2 oder wie?
>
> Das Ganze scheint mir als Beweis aber zu einfach. Oder ich
> hab viel dazu gelernt. naja xD
>
> Aber so ganz sehe ich den Unterschied zwischen b) und c),
> also von der Aufgabe, irgendwie nicht
Bei b) ist vorausgesetzt: zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es ein [mm] L_n [/mm] mit:
[mm] $|f_n(x)-f_n(y)| \le L_n|x-y|$ [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] D.
Bei c) ist vorausgesetzt: es gibt ein L mit
(*) [mm] $|f_n(x)-f_n(y)| \le [/mm] L|x-y|$ für alle x,y [mm] \in [/mm] D und alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Aus (*) folgt natürlich mit n [mm] \to \infty [/mm] sofort:
$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y|$ für alle x,y [mm] \in [/mm] D
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 08.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 08.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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