Lipschitz-Stetigkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] x'(t)=-2*t*\wurzel[3]{x(t)}+x(t)
[/mm]
Erfüllt die DGL die Lipschitzbedinung? |
Hallo hallo.
Man kann doch oft den Mittelwertsatz bei solchen Aufgaben benutzen oder?
[mm] f(t,x)=:-2*t*\wurzel[3]{x}+x
[/mm]
Es geht ja um L- Stetigkeit bezüglich x
Ableitung nach x ergibt [mm] \bruch{\partial}{\partial x} f(t,x)=\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1 [/mm] und die ist beschränkt auf [0, [mm] T]\times[\epsilon, \infty) [/mm] durch [mm] L=:\bruch{2*T}{3\wurzel[3]{\epsilon}^2}+1
[/mm]
Nach dem Mittelwertsatz gilt für [mm] \vektor{t \\ x} [/mm] und [mm] \vektor{t \\ y} [/mm] aus[0, [mm] T]\times[\epsilon, \infty)
[/mm]
[mm] |f(t,x)-f(t,y)|=|df(t_1,t_2)\vektor{t-t \\ x-y}|=|(\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1)(x-y)|\le [/mm] L|x-y| für [mm] (t_1, t_2) [/mm] aus [0, [mm] T]\times[\epsilon, \infty)
[/mm]
also folgt nur lokale Lipschitz- Stetigkeit. Nach Picard Lindelöf existiert dann zu jedem Anfangswert eine eindeutige Lösung auf [mm] [\epsilon, \infty)
[/mm]
Ist das richtig?
Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 So 10.03.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Kulli,
> Sei [mm]x'(t)=-2*t*\wurzel[3]{x(t)}+x(t)[/mm]
>
> Erfüllt die DGL die Lipschitzbedinung?
> Hallo hallo.
>
> Man kann doch oft den Mittelwertsatz bei solchen Aufgaben
> benutzen oder?
Kann man oft.
>
> [mm]f(t,x)=:-2*t*\wurzel[3]{x}+x[/mm]
>
> Es geht ja um L- Stetigkeit bezüglich x
Ja.
>
> Ableitung nach x ergibt [mm]\bruch{\partial}{\partial x} f(t,x)=\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1[/mm]
> und die ist beschränkt auf [0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
> durch [mm]L=:\bruch{2*T}{3\wurzel[3]{\epsilon}^2}+1[/mm]
Stimmt fast. Wir wollen hier aber nachweisen, daß sogar der Betrag der partiellen Ableitung beschränkt ist. Ganz richtig heißt es:
Für positive $T$ und [mm] $\epsilon$ [/mm] ist [mm] $\left| \frac {\partial} {\partial x} f(t,x)\right|$ [/mm] auf [mm] $(-T;T)\times(\epsilon;\infty)$ [/mm] durch $L= {2T [mm] \over [/mm] 3 [mm] \root [/mm] 3 [mm] \of {\epsilon^2}}+1$ [/mm] beschränkt.
>
> Nach dem Mittelwertsatz gilt für [mm]\vektor{t \\ x}[/mm] und
> [mm]\vektor{t \\ y}[/mm] aus[0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
>
> [mm]|f(t,x)-f(t,y)|=|df(t_1,t_2)\vektor{t-t \\ x-y}|=|(\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1)(x-y)|\le[/mm]
> L|x-y| für [mm](t_1, t_2)[/mm] aus [0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
Dies ist jetzt richtig falsch. Du scheinst einen Mittelwertsatz auf f anwenden zu wollen. Dies muß aber schief gehen, da der Mittelwertsatz nur für Funktionen, die auf einem Intervall definiert sind, gilt. Dies trifft auf Funktionen mit zwei Argumenten, so wie unser f, nicht zu.
Vielmehr wenden wir hier den Mittelwertsatz auf die Funktion
[mm] $(\epsilon;\infty)\to \IR\;,x\mapsto [/mm] f(t,x)$
an. Dies haben wir ja auch schon mit der partiellen Ableitung, die ja die gewöhnliche Ableitung just obiger Funktion ist, vorbereitet.
Grüße,
Wolfgang
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> Hallo Kulli,
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> > Sei [mm]x'(t)=-2*t*\wurzel[3]{x(t)}+x(t)[/mm]
> >
> > Erfüllt die DGL die Lipschitzbedinung?
> > Hallo hallo.
> >
> > Man kann doch oft den Mittelwertsatz bei solchen Aufgaben
> > benutzen oder?
>
> Kann man oft.
>
> >
> > [mm]f(t,x)=:-2*t*\wurzel[3]{x}+x[/mm]
> >
> > Es geht ja um L- Stetigkeit bezüglich x
>
> Ja.
>
> >
> > Ableitung nach x ergibt [mm]\bruch{\partial}{\partial x} f(t,x)=\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1[/mm]
> > und die ist beschränkt auf [0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
> > durch [mm]L=:\bruch{2*T}{3\wurzel[3]{\epsilon}^2}+1[/mm]
>
> Stimmt fast. Wir wollen hier aber nachweisen, daß sogar
> der Betrag der partiellen Ableitung beschränkt ist. Ganz
> richtig heißt es:
>
> Für positive [mm]T[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] ist [mm]\left| \frac {\partial} {\partial x} f(t,x)\right|[/mm]
> auf [mm](-T;T)\times(\epsilon;\infty)[/mm] durch [mm]L= {2T \over 3 \root 3 \of {\epsilon^2}}+1[/mm]
> beschränkt.
Ok gut, ich sehe ein dass wir die Funktion f nur in einer Variablen betrachten und dann den Mittelwertsatz anwenden können. Jedoch...
> > Nach dem Mittelwertsatz gilt für [mm]\vektor{t \\ x}[/mm] und
> > [mm]\vektor{t \\ y}[/mm] aus[0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
> >
> > [mm]|f(t,x)-f(t,y)|=|df(t_1,t_2)\vektor{t-t \\ x-y}|=|(\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1)(x-y)|\le[/mm]
> > L|x-y| für [mm](t_1, t_2)[/mm] aus [0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
>
> Dies ist jetzt richtig falsch. Du scheinst einen
> Mittelwertsatz auf f anwenden zu wollen. Dies muß aber
> schief gehen, da der Mittelwertsatz nur für Funktionen,
> die auf einem Intervall definiert sind, gilt. Dies trifft
> auf Funktionen mit zwei Argumenten, so wie unser f, nicht
> zu.
...frage ich mich: Wieso falsch?
Den Mittelwertsatz gibt es doch auch für reellwertige Funktionen mehrerer Variablen? Solang die Verbingungsstrecke zwischen 2 Punkten im Definitionsbereich liegt und das hier ist ja der Fall. Das läuft hier ja eigentlich auch auf das selbe hinaus, da der erste Eintrag des Vektors [mm] \vektor{t-t \\ x-y} [/mm] ja 0 ist.
> Vielmehr wenden wir hier den Mittelwertsatz auf die
> Funktion
>
> [mm](\epsilon;\infty)\to \IR\;,x\mapsto f(t,x)[/mm]
>
> an. Dies haben wir ja auch schon mit der partiellen
> Ableitung, die ja die gewöhnliche Ableitung just obiger
> Funktion ist, vorbereitet.
> Grüße,
> Wolfgang
Vielen Dank, kullinarisch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Mo 11.03.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Kulli,
> >
> > > Sei [mm]x'(t)=-2*t*\wurzel[3]{x(t)}+x(t)[/mm]
> > >
> > > Erfüllt die DGL die Lipschitzbedinung?
> > > Hallo hallo.
> > >
> > > Man kann doch oft den Mittelwertsatz bei solchen Aufgaben
> > > benutzen oder?
> >
> > Kann man oft.
> >
> > >
> > > [mm]f(t,x)=:-2*t*\wurzel[3]{x}+x[/mm]
> > >
> > > Es geht ja um L- Stetigkeit bezüglich x
> >
> > Ja.
> >
> > >
> > > Ableitung nach x ergibt [mm]\bruch{\partial}{\partial x} f(t,x)=\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1[/mm]
> > > und die ist beschränkt auf [0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
> > > durch [mm]L=:\bruch{2*T}{3\wurzel[3]{\epsilon}^2}+1[/mm]
> >
> > Stimmt fast. Wir wollen hier aber nachweisen, daß sogar
> > der Betrag der partiellen Ableitung beschränkt ist. Ganz
> > richtig heißt es:
> >
> > Für positive [mm]T[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] ist [mm]\left| \frac {\partial} {\partial x} f(t,x)\right|[/mm]
> > auf [mm](-T;T)\times(\epsilon;\infty)[/mm] durch [mm]L= {2T \over 3 \root 3 \of {\epsilon^2}}+1[/mm]
> > beschränkt.
>
> Ok gut, ich sehe ein dass wir die Funktion f nur in einer
> Variablen betrachten und dann den Mittelwertsatz anwenden
> können. Jedoch...
>
>
> > > Nach dem Mittelwertsatz gilt für [mm]\vektor{t \\ x}[/mm] und
> > > [mm]\vektor{t \\ y}[/mm] aus[0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
> > >
>
> > > [mm]|f(t,x)-f(t,y)|=|df(t_1,t_2)\vektor{t-t \\ x-y}|=|(\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1)(x-y)|\le[/mm]
> > > L|x-y| für [mm](t_1, t_2)[/mm] aus [0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
>
> >
> > Dies ist jetzt richtig falsch. Du scheinst einen
> > Mittelwertsatz auf f anwenden zu wollen. Dies muß aber
> > schief gehen, da der Mittelwertsatz nur für Funktionen,
> > die auf einem Intervall definiert sind, gilt. Dies trifft
> > auf Funktionen mit zwei Argumenten, so wie unser f, nicht
> > zu.
>
> ...frage ich mich: Wieso falsch?
>
> Den Mittelwertsatz gibt es doch auch für reellwertige
> Funktionen mehrerer Variablen? Solang die
> Verbingungsstrecke zwischen 2 Punkten im Definitionsbereich
> liegt und das hier ist ja der Fall. Das läuft hier ja
> eigentlich auch auf das selbe hinaus, da der erste Eintrag
> des Vektors [mm]\vektor{t-t \\ x-y}[/mm] ja 0 ist.
Erstens kenne ich den mehrdimensionalen Mittelwertsatz nicht, aber das mag an mir liegen.
Zweitens brauchen wir die Lipschitzstetigkeit in nur einer Variablen, nicht in zweien.
Drittens kann ich Deine Herleitung nicht nachvollziehen, selbst wenn ich den mehrdimensionialen Mittelwertsatz annehme: Wo kommen plötzlich [mm] $t_1, t_2$ [/mm] her? Du schreibst Betragsstriche meinst aber Normen, wobei für df die Operatornorm zu nehmen ist.
Kurz: Der mehrdimensionale Mittelwertsatz ist eine Kanone, mit der Du haarscharf an dem Spatz der Lipschitzstetigkeit bzgl. einer Variablen vorbeigeschossen hast. Solche Kanonen mögen beeindruckend sein, das Vorbeischießen ist es aber nicht.
Grüße,
Wolfgang
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> Hallo Kulli,
> > >
> > > > Sei [mm]x'(t)=-2*t*\wurzel[3]{x(t)}+x(t)[/mm]
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> > > > Erfüllt die DGL die Lipschitzbedinung?
> > > > Hallo hallo.
> > > >
> > > > Man kann doch oft den Mittelwertsatz bei solchen Aufgaben
> > > > benutzen oder?
> > >
> > > Kann man oft.
> > >
> > > >
> > > > [mm]f(t,x)=:-2*t*\wurzel[3]{x}+x[/mm]
> > > >
> > > > Es geht ja um L- Stetigkeit bezüglich x
> > >
> > > Ja.
> > >
> > > >
> > > > Ableitung nach x ergibt [mm]\bruch{\partial}{\partial x} f(t,x)=\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1[/mm]
> > > > und die ist beschränkt auf [0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
> > > > durch [mm]L=:\bruch{2*T}{3\wurzel[3]{\epsilon}^2}+1[/mm]
> > >
> > > Stimmt fast. Wir wollen hier aber nachweisen, daß sogar
> > > der Betrag der partiellen Ableitung beschränkt ist. Ganz
> > > richtig heißt es:
> > >
> > > Für positive [mm]T[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] ist [mm]\left| \frac {\partial} {\partial x} f(t,x)\right|[/mm]
> > > auf [mm](-T;T)\times(\epsilon;\infty)[/mm] durch [mm]L= {2T \over 3 \root 3 \of {\epsilon^2}}+1[/mm]
> > > beschränkt.
> >
> > Ok gut, ich sehe ein dass wir die Funktion f nur in einer
> > Variablen betrachten und dann den Mittelwertsatz anwenden
> > können. Jedoch...
> >
> >
> > > > Nach dem Mittelwertsatz gilt für [mm]\vektor{t \\ x}[/mm] und
> > > > [mm]\vektor{t \\ y}[/mm] aus[0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
> >
> > >
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> > > > [mm]|f(t,x)-f(t,y)|=|df(t_1,t_2)\vektor{t-t \\ x-y}|=|(\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1)(x-y)|\le[/mm]
> > > > L|x-y| für [mm](t_1, t_2)[/mm] aus [0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dies ist jetzt richtig falsch. Du scheinst einen
> > > Mittelwertsatz auf f anwenden zu wollen. Dies muß aber
> > > schief gehen, da der Mittelwertsatz nur für Funktionen,
> > > die auf einem Intervall definiert sind, gilt. Dies trifft
> > > auf Funktionen mit zwei Argumenten, so wie unser f, nicht
> > > zu.
> >
> > ...frage ich mich: Wieso falsch?
> >
> > Den Mittelwertsatz gibt es doch auch für reellwertige
> > Funktionen mehrerer Variablen? Solang die
> > Verbingungsstrecke zwischen 2 Punkten im Definitionsbereich
> > liegt und das hier ist ja der Fall. Das läuft hier ja
> > eigentlich auch auf das selbe hinaus, da der erste Eintrag
> > des Vektors [mm]\vektor{t-t \\ x-y}[/mm] ja 0 ist.
>
> Erstens kenne ich den mehrdimensionalen Mittelwertsatz
> nicht, aber das mag an mir liegen.
>
> Zweitens brauchen wir die Lipschitzstetigkeit in nur einer
> Variablen, nicht in zweien.
>
> Drittens kann ich Deine Herleitung nicht nachvollziehen,
> selbst wenn ich den mehrdimensionialen Mittelwertsatz
> annehme: Wo kommen plötzlich [mm]t_1, t_2[/mm] her? Du schreibst
> Betragsstriche meinst aber Normen, wobei für df die
> Operatornorm zu nehmen ist.
>
> Kurz: Der mehrdimensionale Mittelwertsatz ist eine Kanone,
> mit der Du haarscharf an dem Spatz der Lipschitzstetigkeit
> bzgl. einer Variablen vorbeigeschossen hast. Solche Kanonen
> mögen beeindruckend sein, das Vorbeischießen ist es aber
> nicht.
>
> Grüße,
> Wolfgang
Hallo Wolfgang, dass [mm] (t_1, t_2) [/mm] ist irgend ein Punkt auf der Verbindungsstrecke von (t,x) und (t,y) der nach dem MWS existiert, hier aber keine Rolle spielt. Mir fehlt leider das Verständnis dafür, weshalb man damit daneben schießt. Daher werde ich also besser auf nummer sicher gehen und künftig die L-Stetigkeit nur in der 2. Variablen zeigen.
Gruß kulli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:17 Do 14.03.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Hallo Kulli,
> > > >
> > > > > Sei [mm]x'(t)=-2*t*\wurzel[3]{x(t)}+x(t)[/mm]
> > > > >
> > > > > Erfüllt die DGL die Lipschitzbedinung?
> > > > > Hallo hallo.
> > > > >
> > > > > Man kann doch oft den Mittelwertsatz bei solchen Aufgaben
> > > > > benutzen oder?
> > > >
> > > > Kann man oft.
> > > >
> > > > >
> > > > > [mm]f(t,x)=:-2*t*\wurzel[3]{x}+x[/mm]
> > > > >
> > > > > Es geht ja um L- Stetigkeit bezüglich x
> > > >
> > > > Ja.
> > > >
> > > > >
> > > > > Ableitung nach x ergibt [mm]\bruch{\partial}{\partial x} f(t,x)=\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1[/mm]
> > > > > und die ist beschränkt auf [0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
> > > > > durch [mm]L=:\bruch{2*T}{3\wurzel[3]{\epsilon}^2}+1[/mm]
> > > >
> > > > Stimmt fast. Wir wollen hier aber nachweisen, daß sogar
> > > > der Betrag der partiellen Ableitung beschränkt ist. Ganz
> > > > richtig heißt es:
> > > >
> > > > Für positive [mm]T[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] ist [mm]\left| \frac {\partial} {\partial x} f(t,x)\right|[/mm]
> > > > auf [mm](-T;T)\times(\epsilon;\infty)[/mm] durch [mm]L= {2T \over 3 \root 3 \of {\epsilon^2}}+1[/mm]
> > > > beschränkt.
> > >
> > > Ok gut, ich sehe ein dass wir die Funktion f nur in einer
> > > Variablen betrachten und dann den Mittelwertsatz anwenden
> > > können. Jedoch...
> > >
> > >
> > > > > Nach dem Mittelwertsatz gilt für [mm]\vektor{t \\ x}[/mm] und
> > > > > [mm]\vektor{t \\ y}[/mm] aus[0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
>
> > >
> > > >
> > >
> > > > > [mm]|f(t,x)-f(t,y)|=|df(t_1,t_2)\vektor{t-t \\ x-y}|=|(\bruch{2t}{3\wurzel[3]{x}^2}+1)(x-y)|\le[/mm]
> > > > > L|x-y| für [mm](t_1, t_2)[/mm] aus [0, [mm]T]\times[\epsilon, \infty)[/mm]
>
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> > >
> > > >
> > > > Dies ist jetzt richtig falsch. Du scheinst einen
> > > > Mittelwertsatz auf f anwenden zu wollen. Dies muß aber
> > > > schief gehen, da der Mittelwertsatz nur für Funktionen,
> > > > die auf einem Intervall definiert sind, gilt. Dies trifft
> > > > auf Funktionen mit zwei Argumenten, so wie unser f, nicht
> > > > zu.
> > >
> > > ...frage ich mich: Wieso falsch?
> > >
> > > Den Mittelwertsatz gibt es doch auch für reellwertige
> > > Funktionen mehrerer Variablen? Solang die
> > > Verbingungsstrecke zwischen 2 Punkten im Definitionsbereich
> > > liegt und das hier ist ja der Fall. Das läuft hier ja
> > > eigentlich auch auf das selbe hinaus, da der erste Eintrag
> > > des Vektors [mm]\vektor{t-t \\ x-y}[/mm] ja 0 ist.
> >
> > Erstens kenne ich den mehrdimensionalen Mittelwertsatz
> > nicht, aber das mag an mir liegen.
> >
> > Zweitens brauchen wir die Lipschitzstetigkeit in nur einer
> > Variablen, nicht in zweien.
> >
> > Drittens kann ich Deine Herleitung nicht nachvollziehen,
> > selbst wenn ich den mehrdimensionialen Mittelwertsatz
> > annehme: Wo kommen plötzlich [mm]t_1, t_2[/mm] her? Du schreibst
> > Betragsstriche meinst aber Normen, wobei für df die
> > Operatornorm zu nehmen ist.
> >
> > Kurz: Der mehrdimensionale Mittelwertsatz ist eine Kanone,
> > mit der Du haarscharf an dem Spatz der Lipschitzstetigkeit
> > bzgl. einer Variablen vorbeigeschossen hast. Solche Kanonen
> > mögen beeindruckend sein, das Vorbeischießen ist es aber
> > nicht.
> >
> > Grüße,
> > Wolfgang
>
> Hallo Wolfgang, dass [mm](t_1, t_2)[/mm] ist irgend ein Punkt auf
> der Verbindungsstrecke von (t,x) und (t,y) der nach dem MWS
> existiert, hier aber keine Rolle spielt. Mir fehlt leider
> das Verständnis dafür, weshalb man damit daneben
> schießt.
Nicht "man" sondern "Du". Beim erweiterten Mittelwertsatz mußt Du die Beträge durch eine Norm auf [mm] $\IR^2$ [/mm] (für die Differenz der Vektoren) und durch die zugehörige Operatornorm der Ableitung, die ja hier ein linearer Operator auf [mm] $|\R^2$ [/mm] ist, ersetzen. Beides hattest Du versäumt. Daher "vorbeigeschossen." Aber sonst ist dagegen nichts zu sagen, nur daß es eleganter ist, den Umweg über Zweidimensionales zu vermeiden, wenn das Problem eindimensional ist.
> Daher werde ich also besser auf nummer sicher
> gehen und künftig die L-Stetigkeit nur in der 2. Variablen
> zeigen.
Gute Idee!
Gruß,
Wolfgang
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