Lipschitz- stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f: D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion. Wir sagen, f ist Lipschitzstetig mit der Lipschitzkonstante L, wenn für alle x, y [mm] \in [/mm] D gilt, dass |f(x) - [mm] f(x_0)| \le [/mm] L|x - [mm] x_0|.
[/mm]
a) Zeigen Sie: f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^{2} [/mm] ist nicht Lipschitz- stetig.
b) Zeigen Sie: jede Lipschitz- stetige Funktion ost stetig. |
Hallo, ich bin gerade dabei Stetigkeitsbeweise zu wiederholen. Ich bin mir nicht ganz sicher ob meine Argumentation so richtig ist, wäre nett, wenn sich das mal jmd anschaut:
a) Sei [mm] x_0 [/mm] = 0. Wenn f Lipschitz- stetig wäre, müsste es ein L derart geben, dass [mm] |x^{2} [/mm] - [mm] x_0^{2}| [/mm] = [mm] |x^{2}| \le [/mm] L|x| erfüllt ist. Dies wäre der Fall, wenn x [mm] \le [/mm] L. Das ist aber nicht möglich, da [mm] x^{2} \to \infty, [/mm] x [mm] \to \infty. [/mm]
Es kann also nicht eine solche Konstante L existieren.
b) Die Vor. ist ja, dass |f(x) - [mm] f(x_0)| \le [/mm] L|x - [mm] x_0| [/mm] gilt.
Suche eines geeigneten Deltas: für |x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
ist |f(x) - [mm] f(x_0)| \le [/mm] L|x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] L\delta [/mm]
Es ist [mm] L\delta [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \delta [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{L}
[/mm]
Also für gegebenes [mm] \varepsilon [/mm] wähle [mm] \delta [/mm] := [mm] \bruch{\varepsilon}{L}
[/mm]
dann gilt: |f(x) - [mm] f(x_0)| \le [/mm] L|x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] L\delta [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Liebe Grüße, kullinarisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Mo 02.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1 das ist richtig, aber unschoen formuliert. besser: zu jedem endlichen L gibt es ein x mit [mm] x^2>L*|x| [/mm] naemlich etwa x=L+1
2 ist richtig.
Gruss leduart
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Das ist wirklich schöner, danke dir!
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