Lipschitz-stetig < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mi 07.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Sei A := [mm] {u_i | u _i(x) = x^i ; i>=1; i\in\IR} [/mm] Teilmenge von [mm] C^0([0; [/mm] 1]). Zeige, dass A nicht totalbeschränkt ist als Teilmenge von [mm] (C^0([0; [/mm] 1]); sup-Norm). |
Hallo,
ich habe den Mittelwertsatz angewendet. Dann erhalte ich [mm] |u_i(y)-u_i(x)|=i*u^{i-1}*|y-x|<=i*|y-x|. [/mm] Für i gegen unendlich gibt es keine Konstante. Also [mm] u_i [/mm] nicht Lipschitz-stetig, damit nicht gleichgradig stetig und nach Arzela-Ascoli nicht totalbeschränkt. Ist das so richtig?
Vielen Dank.
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Sei A := [mm]{u_i | u _i(x) = x^i ; i>=1; i\in\IR}[/mm] Teilmenge
> von [mm]C^0([0;[/mm] 1]). Zeige, dass A nicht totalbeschränkt ist
> als Teilmenge von [mm](C^0([0;[/mm] 1]); sup-Norm).
> Hallo,
>
> ich habe den Mittelwertsatz angewendet. Dann erhalte ich
> [mm]|u_i(y)-u_i(x)|=i*u^{i-1}*|y-x|<=i*|y-x|.[/mm] Für i gegen
> unendlich gibt es keine Konstante. Also [mm]u_i[/mm] nicht
> Lipschitz-stetig, damit nicht gleichgradig stetig und nach
> Arzela-Ascoli nicht totalbeschränkt. Ist das so richtig?
Nein. Du hast nur gezeigt, daß Du mit dem Mittelwertsatz keine Lipschitzkonstante finden kannst. Das heißt aber nicht, daß es keine gibt. Und selbst wenn es keine gäbe, kann die Familie immer noch gleichgradig stetig sein.
Um zu zeigen, daß die Familie nicht gleichgradig stetig ist, beachte [mm] $x^n\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$ [/mm] und jedes $x [mm] \in [/mm] [0,1)$, aber [mm] $1^n=1$.
[/mm]
Hilft das schon mal?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Mi 07.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Da $ [mm] x^n\to [/mm] 0 $ für $ [mm] n\to\infty [/mm] $ und jedes $ x [mm] \in [/mm] [0,1) $, aber $ [mm] 1^n=1 [/mm] $ gilt, ist die Grenzwertfunktion nicht stetig. Nach dem Satz: Der gleichmäßige Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen ist stetig, konvergiert die Folge [mm] x^n [/mm] nicht gleichmäßig gegen die Grenzwertfunktion. Ist das der richtige Ansatz? Wie könnte ich jetzt weiterargumentieren?
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:17 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> vielen Dank für die schnelle Antwort. Da [mm]x^n\to 0[/mm] für
> [mm]n\to\infty[/mm] und jedes [mm]x \in [0,1) [/mm], aber [mm]1^n=1[/mm] gilt, ist die
> Grenzwertfunktion nicht stetig. Nach dem Satz: Der
> gleichmäßige Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen
> ist stetig, konvergiert die Folge [mm]x^n[/mm] nicht gleichmäßig
> gegen die Grenzwertfunktion. Ist das der richtige Ansatz?
> Wie könnte ich jetzt weiterargumentieren?
>
> Katrin
Es gilt: A ist totalbeschränkt [mm] \gdw [/mm] jede Folge in A enthält eine Teilfolge, die eine Cauchyfolge ist.
Wäre also obiges A totalbeschränkt, so würde [mm] (x^n) [/mm] eine Teilfolge enthalten, die eine Cauchyfolge ist. Diese Teilfolge wäre also auf [0,1] gleichmäßig konvergent.
Kann das sein ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Du verwechselst gleichgradig stetig mit gleichmäßig stetig. Kann das sein? Für Arzela-Ascoli mußt Du ja zeigen, daß die Funktionenfamilie nicht gleichgradig stetig ist. Wären die [mm] $f_n$ [/mm] gleichgradig stetig in 1, so gäbe es zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta [/mm] >0$ mit
[mm] $|f_n(x)-f_n(1)|< \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $f_n$ [/mm] und alle $x$ mit $1-x < [mm] \delta$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 07.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
mit der Definition der gleichgradigen Stetigkeit habe ich es auch schon versucht. Ich habe [mm] \epsilon [/mm] als 1/2 gesetzt und x als [mm] 1-\delta/2. [/mm] Dann habe ich $ [mm] |f_n(x)-f_n(1)| [/mm] $ abgeschätzt und kam zu:
$ [mm] |f_n(x)-f_n(1)| [/mm] <=sup [mm] n\in\IN, [/mm] n>=1 [mm] {(1-\delta/2)^n-1}$. [/mm] Allerdings weiß ich nicht, wie ich nun weiter abschätzen könnte.
Vielen Dank.
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> Hallo,
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> mit der Definition der gleichgradigen Stetigkeit habe ich
> es auch schon versucht. Ich habe [mm]\epsilon[/mm] als 1/2 gesetzt
> und x als [mm]1-\delta/2.[/mm] Dann habe ich [mm]|f_n(x)-f_n(1)|[/mm]
> abgeschätzt und kam zu:
> [mm]|f_n(x)-f_n(1)| <=sup n\in\IN, n>=1 {(1-\delta/2)^n-1}[/mm].
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich nun weiter abschätzen
> könnte.
>
> Vielen Dank.
Es geht auch ohne epsilons und deltas:
Die Folge [mm] (u_i) [/mm] konvergiert punktweise gegen eine unstetige Funktion. Somit gilt das auch für jede Teilfolge.
Nimmt man jetzt an, dass es eine Teilfolge gibt, die in [mm] C^0 [/mm] Cauchy-Folge ist, konvergiert diese in [mm] C^0 [/mm] und somit gleichmäßig mit einer stetigen Funktion als Grenzwert. Da gleichmäßige Konvergenz punktweise Konvergenz impliziert, muss auch der punktweise Limes eine stetige Funktion sein, was einen Widerspruch ergibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:49 Do 08.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
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> mit der Definition der gleichgradigen Stetigkeit habe ich
> es auch schon versucht. Ich habe [mm]\epsilon[/mm] als 1/2 gesetzt
> und x als [mm]1-\delta/2.[/mm] Dann habe ich [mm]|f_n(x)-f_n(1)|[/mm]
> abgeschätzt und kam zu:
> [mm]|f_n(x)-f_n(1)| <=sup n\in\IN, n>=1 {(1-\delta/2)^n-1}[/mm].
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich nun weiter abschätzen
> könnte.
Um den Satz von Arzela-Ascoli anzuwenden, mußt Du zeigen, daß die [mm] $f_n$ [/mm] nicht
gleichgradig stetig sind. Es hilft nicht zu zeigen, daß die [mm] $f_n$ [/mm] nicht gleichmäßig stetig
konvergieren, weil es Folgen gibt, die nicht gleichmäßig konvergieren, aber dennoch gleichgradig stetig sind. Dies behaupte ich mal kühn, habe aber kein entsprechendes Beispiel parat.
Wir führen einen Widerspruchsbeweis: Angenommen, die Familie der Funktionen [mm] $\{x\mapsto x^n\mid n\in\IN\}$ [/mm] sei an der Stelle $1$ gleichgradig stetig. Dann gibt es zu [mm] $\epsilon=1/2$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so daß [mm] $|1^n-x^n| [/mm] < 1/2$ für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $x\in (1-\delta, [/mm] 1]$. Es gibt nun ein [mm] $x\in(1-\delta, [/mm] 1)$. Dieses $x$ ist kleiner 1, so daß [mm] $x^n\to [/mm] 0$ für [mm] $n\to \infty$. [/mm] Demnach gibt es ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $x^n [/mm] < 1/2$. Nach Annahme ist aber [mm] $1-x^n=|1^n-x^n|< \epsilon=1/2$, [/mm] also [mm] $x_n [/mm] > 1/2$. Widerspruch!
Damit ist die Familie der [mm] $f_n$ [/mm] nicht gleichgradig stetig in $1$.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Do 08.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank. Ich habe es jetzt verstanden.
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