Lipschitz Konstante < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:12 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
ich soll die Lipschitzkonstante für folgende Funktion bestimmen:
[mm] f(x,y)=2y/x [/mm] [mm] x \le 1 [/mm]
hab folgende def. gefunden:
[mm] ||f(t,x_1)-f(t,x_2)|| \le L ||x_2 - x_1|| [/mm]
muss für alle t gelten. (ist die richtig für den [mm] IR^2 [/mm] ?=
Hab jetzt also folgendes gemacht:
[mm] |\bruch{2y_1}{x} - \bruch{2y_2}{x}| \le L |y_2 - y_1| [/mm]
und komme dann auf
[mm] \bruch{2}{x} \le L [/mm]
Ist das so richtig?
Danke für eure Hilfe,
Gruss Toyo
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Hallo, also ich denke, dass deine Definition etwas merkwürdig aussieht. Du hast dich da sicher vertippt und es heißt:
[mm] ||f(x_{1},t)-f(t,x_{2})||\le L||x_{2}-x_{1}||.
[/mm]
Das ist zwar jetzt nicht die lokale Lipschitz-Stetigkeit, aber das geht vielleicht auch:
[mm] |\bruch{2t}{x_{1}}- \bruch{2x_{2}}{t}|\le L|x_{2}-x_{1}|
[/mm]
Dann die Brüche gleichnamig machen und sehen,was rauskommt. Es gibt auch noch eine Definition für lokale Lipschitz-Stetigkeit:
f lokal Lipschitz-stetig, wenn es zu jedem [mm] y_{0}\in [/mm] U eine Umgebung V in U und eine Zahl L gibt, sodass
[mm] |f(y_{1}-f_{2}|\le L|y_{1}-y_{2}| [/mm] f.a. [mm] y_{1},y_{2} [/mm] aus V
Die sieht doch auch ganz nett aus.
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo mathmetzsch,
vielen Dank erstmal für deine Antwort, aber ich hab mich nicht vertippt, die angegebene Definition steht in meinem Buch als die der gleichmäßigen Libschitz-stetigkeit.
Gibt es vielleicht noch andere Meinungen hierzu?
Bin für jede dankbar.
Gruss
Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Sa 29.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Toyo
Es kommt drauf an, in welchem Zusammenhang du die L-stetigkeit brauchst. Die Lipschitsstetigkeit in einer Variablen, so wie du sie aufgeschriben hast, brauch man meist bei Dgl. für den Piccard-Lindelöf Beweis . Und das iterative Verfahren Dgl zu lösen.
Die Lipschitzstetigkeit einer Fkt [mm] \IR^{2}->\IR^{2} [/mm] ist: d(f(p1),f(p2) [mm] \le [/mm] L*d(p1,p2) mit d irgendein Abstandsfkt. in [mm] \IR^{2}
[/mm]
Jetzt zu deinem Vorgehen bei L_St. in einer Variablen. L muss eine Zahl sein, nicht L<2/x sondern etwa für x [mm] \ge [/mm] 1 L=2=max(2/x) wäre richtig. Für x<1 gibt es kein L, da 2/x beliebig groß wird. höchstens für ein festes Intervall a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 wäre L=2/a.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Toyo |
Warum muss ist das groesste L die Konstante? Hab das in keinem Buch gefunden?
Was wäre dann die konstante von f(x,y) = x-y² und |y| [mm] \le [/mm] 10 ?
ist die Lösung dann [mm] |y_2 - y_1| \le L [/mm] und dann ist L=20 die lösung weil man die grösste Lipschitz konstante wählen soll, (warum versteh ich nicht!?! Kann mir einer was dazu sagen?)
Dank für eure hilfe
Gruss
Toyo
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Hallo Toyo,
> Warum muss ist das groesste L die Konstante? Hab das in
> keinem Buch gefunden?
Es muß eine Zahl sein die für alle [mm] y_1,y_2 [/mm] gleich ist deshalb die größte.
> Was wäre dann die konstante von f(x,y) = x-y² und |y| [mm]\le[/mm]
> 10 ?
> ist die Lösung dann [mm]|y_2 - y_1| \le L[/mm] und dann ist L=20
> die lösung weil man die grösste Lipschitz konstante wählen
> soll, (warum versteh ich nicht!?! Kann mir einer was dazu
> sagen?)
Du kannst ja mal das L für [mm] y_1=10 [/mm] und [mm] y_2=9.9999 [/mm] bestimmen. Es muß eben ein L sein das für alle y aus dem Intervall [-10,10] gleich ist.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
> Dank für eure hilfe
> Gruss
> Toyo
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Hallo Toyo,
Um die L-stetigkeit bezgl. y zu bestimmen hast Du offenbar einmal nach y abgeleitet. Jetzt müsstest Du für diese Ableitung eine Obergrenze finden damit es eine solche L-Konstante gibt. Jetzt siehst Du vermutlich das dies für das angegebene Intervall nicht geht.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 So 30.10.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo Mathemaduenn, vielen Dank für deine Postings! Hast meinem Verständnis sehr weiter geholfen. Dieser Post bezieht sich doch auf die Aufgabe [mm] f(x,y)=2y/x [/mm] mit [mm] x \ge 1 [/mm]
aber hier gibts es doch eine obere grenze für 2/x (d.h. die ABleitung) nämlich 2. Warum meinst ist das falsch?
Gruss
Toyo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Mo 31.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> bezieht sich doch auf die Aufgabe [mm]f(x,y)=2y/x[/mm] mit [mm]x \ge 1[/mm]
> aber hier gibts es doch eine obere grenze für 2/x (d.h. die
> ABleitung) nämlich 2. Warum meinst ist das falsch?
im ersten post stand x [mm] \le [/mm] 1. das hattest du bisher nicht berichtigt. mit [mm] x\ge [/mm] 1 ist L=2ok
Gruss leduart
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