Lipschitz stetig < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Pruckcy |
| Aufgabe | | ist die rechte Seite von u'(x)=(1+u(x))²*x Lipschitz stetig? |
Hallo!
Ich bin gerade ein bisschen am Wiederholen und stehe hier gerade auf dem Schlauch! In einem Protokoll kam diese Frage und der Student konnte sofort sagen, dass die rechte Seite lokal Lipschitz stetig ist. Wie kommt er sofort darauf? Ich würde das erstmal einsetzten in die Definition und gucken ob es überhaupt funktioniert. Oder kann man es irgendwie einfach so sehen?
Ich habe angefangen die Lipschitzbedingung zu zeigen:
[mm] |f(x,y)-f(x,z)|\leL|y-z|
[/mm]
Hier wäre schon meine erste Frage, warum verändere ich hier nur das zweite Argument? Muss ich das ganze auch nochmal für das erste Argument machen?
[mm] |(1+y)²*x-(1+z)²*x|\leL|y-z|
[/mm]
=|(1+2y+y²)*x-(1+2z+z²)*x| [mm] \le [/mm] L|y-z|
=|x+2yx+xy²-(x+2zx+xz²)| [mm] \le [/mm] L|y-z|
=|x+2yx+xy²-x-2zx-xz²| [mm] \le [/mm] L|y-z|
=|2yx+xy²-2zx-xz²| [mm] \le [/mm] L|y-z|
=|2x*(y-z)+x*(y²-z²)| [mm] \le [/mm] L|y-z|
=|2x*(y-z)+x*(y-z)*(y+z)| [mm] \le [/mm] L|y-z|
=|2x+x*(y+z)| [mm] \le [/mm] L
und jetzt weiß ich nicht weiter, da ich doch egal für welches L immer ein größeres y,z oder x finden kann, sodass die linke Seite größer wird als das L, müsste es doch eigentlich nicht Lipschitzstetig sein.
Was genau mache ich falsch?
Vielen Dank für Eure Hilfen!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Sa 27.04.2013 | | Autor: | fred97 |
$|f(x,y)-f(x,z)|=|x|*|y+z|*|y-z|$
Edit: ich habe mich verschrieben !
Korrekt:
$|f(x,y)-f(x,z)|=|x|*|y+z+2|*|y-z|$
Siehst Du nun, dass f bezgl. y lokal Lip.-stetig ist ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Pruckcy |
Also ganz klar ist es mir nicht, aber ich versuch mal es so zu erklären:
Die rechte Seite ist Lipschitzstetig weil es eine umgebung für y gibt indem x und z so sind, dass die rechte Seite [mm] \le [/mm] L ist. Jedoch könnte ich das nicht global sagen, weil es für ein y bestimmt x und z gibt, sodass die Ungleichung nicht erfüllt ist!
Mache ich das richtig?
und wie kommst du von meiner Funktion auf diese Umformung? Wo steckt denn mein Fehler?
Lieben Gruß,
Pruckcy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Sa 27.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also ganz klar ist es mir nicht, aber ich versuch mal es so
> zu erklären:
> Die rechte Seite ist Lipschitzstetig weil es eine umgebung
> für y gibt indem x und z so sind, dass die rechte Seite
> [mm]\le[/mm] L ist. Jedoch könnte ich das nicht global sagen, weil
> es für ein y bestimmt x und z gibt, sodass die Ungleichung
> nicht erfüllt ist!
> Mache ich das richtig?
>
> und wie kommst du von meiner Funktion auf diese Umformung?
> Wo steckt denn mein Fehler?
>
> Lieben Gruß,
> Pruckcy
Ich hatte mich oben verschrieben.
Richtig ist
$|f(x,y)-f(x,z)|=|x|*|y+z+2|*|y-z|$
Lokal Lip. - stetig bedeutet: ist [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2, [/mm] so gibt es eine Umgebung U dieses Punktes, sodass f auf U Lip.- stetig ist.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Pruckcy |
> Ich hatte mich oben verschrieben.
>
> Richtig ist
>
> [mm]|f(x,y)-f(x,z)|=|x|*|y+z+2|*|y-z|[/mm]
>
>
> Lokal Lip. - stetig bedeutet: ist [mm](x_0,y_0) \in \IR^2,[/mm] so
> gibt es eine Umgebung U dieses Punktes, sodass f auf U
> Lip.- stetig ist.
>
> FRED
ok! Also im Klartext bedeutet das, dass ich also nur einn Punkt brauche wo das dann in der Umgebung immernoch gilt. Das wäre ja hier der Fall. Aber finde ich sowas nicht fast immer?
wenn ich jetzt eine Funktion habe mit einem Nenner, dürfte ich dann nicht auch alle Punkte nehmen, außer die wo der Nenner null werden würde?
Und hättest du das sofort gesehen, dass die FUnktion lokal Lipschitzstetig ist ohne das in die Definition einzusetzten? Wenn ja, wie denn?
Ich habe mich versucht mal quer zu lesen und da haben viele einfach geguckt ob die partielle ableitung stetig ist.
hier wäre die partielle Ableitung ja
[mm] \bruch{\partial f}{\partial u}= [/mm] 2x*(1+u)
und die ist ja stetig. wäre ich dann nicht schon fertig?
Tut mir leid, wenn das viele kleine dumme Fragen sind. Ich will aber versuchen das ganz genau zu verstehen.
Vielen Dank für deine Hilfe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Sa 27.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Ich hatte mich oben verschrieben.
> >
> > Richtig ist
> >
> > [mm]|f(x,y)-f(x,z)|=|x|*|y+z+2|*|y-z|[/mm]
> >
> >
> > Lokal Lip. - stetig bedeutet: ist [mm](x_0,y_0) \in \IR^2,[/mm] so
> > gibt es eine Umgebung U dieses Punktes, sodass f auf U
> > Lip.- stetig ist.
> >
> > FRED
>
> ok! Also im Klartext bedeutet das, dass ich also nur einn
> Punkt brauche wo das dann in der Umgebung immernoch gilt.
> Das wäre ja hier der Fall. Aber finde ich sowas nicht fast
> immer?
> wenn ich jetzt eine Funktion habe mit einem Nenner, dürfte
> ich dann nicht auch alle Punkte nehmen, außer die wo der
> Nenner null werden würde?
>
> Und hättest du das sofort gesehen, dass die FUnktion lokal
> Lipschitzstetig ist ohne das in die Definition
> einzusetzten? Wenn ja, wie denn?
> Ich habe mich versucht mal quer zu lesen und da haben
> viele einfach geguckt ob die partielle ableitung stetig
> ist.
> hier wäre die partielle Ableitung ja
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial u}=[/mm] 2x*(1+u)
>
> und die ist ja stetig. wäre ich dann nicht schon fertig?
Ja, denn ist [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2, [/mm] und U eine Umgebung dieses Punktes, so ist [mm] \bruch{\partial f}{\partial u} [/mm] auf U beschränkt.
Mit dem Mittelwertsatz folgt die Lip.- Stetigkeit von f auf U.
FRED
> Tut mir leid, wenn das viele kleine dumme Fragen sind. Ich
> will aber versuchen das ganz genau zu verstehen.
> Vielen Dank für deine Hilfe
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:34 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Pruckcy |
Ok!
Gut, wenn ich also gefragt werde ob irgendeine funktion f(x,y) Lipschitzstetig ist, bilde ich einfach die Partielle Ableitung gucke schnell ob die Definitionslücken hat und sage dann sie ist lokal Lipschitzstetig, wenn die partielle Ableitung stetig ist oder eben sie ist nicht lokal Lipschitzstetig wenn die partielle Ableitung nicht stetig ist.
wenn ich dann aber zeigen soll, dass das gilt, muss ich das wieder in die Definition einsetzten und es dann wirklich zeigen. Oder ist das mit dem Mittelwertsatz einfacher?
Jetzt gibt es doch dann nach dem Satz von Picard Lindelöf eine eindeutige Lösung natürlich nur lokal, da wir auch nur lokale Lipschitzstetigkeit haben.
Nun noch eine Frage, wenn ich jetzt lokale Liptschitzstetigkeit habe, kann ich das auf global erweitern?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 29.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
