Lipschitzbedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei I:=[0, [mm] \infty]. [/mm] Weiter sei A die Aussage: f(x,y) erfüllt eine Lipschitzbedingung in y auf dem Intervall IxI. Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an.
A ist wahr ; A ist falsch
a) [mm] f(x,y)=x^{2}y
[/mm]
b) [mm] f(x,y)=\bruch{1}{1+x^{2}}y
[/mm]
c) [mm] f(x,y)=\bruch{1}{1-x}y
[/mm]
d) [mm] f(x,y)=\bruch{1}{1+x^{2}}y^{2}
[/mm]
e) [mm] f(x,y)=x^{2}+2y [/mm] |
Hallo,
zur Aufgabe:
ich will eigentlich wissen wie ich die Lipschitzstetigkeit mit der Formel [mm] |f(x,y_{1})-f(x,y_{2})| \le L*|y_{1}-y_{2}| [/mm] bestimme. was ist zum bsp. bei a) [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] ? Ich muss ja L bestimmen. muss ich hier einfach werte für [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] annehmen die im Bereich [mm] 0\le [/mm] y [mm] \le \infty [/mm] liegen, wenn ja woher weiß ich, ob [mm] y_{1} [/mm] größer ist oder [mm] y_{2}?
[/mm]
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Do 31.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei I:=[0, [mm]\infty].[/mm] Weiter sei A die Aussage: f(x,y)
> erfüllt eine Lipschitzbedingung in y auf dem Intervall
> IxI. Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an.
>
> A ist wahr ; A ist falsch
>
> a) [mm]f(x,y)=x^{2}y[/mm]
>
> b) [mm]f(x,y)=\bruch{1}{1+x^{2}}y[/mm]
>
> c) [mm]f(x,y)=\bruch{1}{1-x}y[/mm]
>
> d) [mm]f(x,y)=\bruch{1}{1+x^{2}}y^{2}[/mm]
>
> e) [mm]f(x,y)=x^{2}+2y[/mm]
> Hallo,
>
> zur Aufgabe:
>
> ich will eigentlich wissen wie ich die Lipschitzstetigkeit
> mit der Formel [mm]|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})| \le L*|y_{1}-y_{2}|[/mm]
> bestimme. was ist zum bsp. bei a) [mm]y_{1}[/mm] und [mm]y_{2}[/mm] ? Ich
> muss ja L bestimmen. muss ich hier einfach werte für [mm]y_{1}[/mm]
> und [mm]y_{2}[/mm] annehmen die im Bereich [mm]0\le[/mm] y [mm]\le \infty[/mm] liegen,
Bei all den Aufgaben sollst Du entscheiden ob es für die jeweilige Funktion f ein L [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit:
(*) [mm] $|f(x,y_1)-f(x,y_2)| \le L|y_1-y_2|$ [/mm] für alle [mm] x,y_1,y_2 \in [/mm] [0, [mm] \infty)
[/mm]
Ich mach Dir mal a) und b) vor :
a) Hier ist [mm] f(x,y_1)-f(x,y_2)=x^2(y_1-y_2). [/mm] Nimm mal an es gäbe ein L so, dass (*) gilt. Dann hätten wir:
[mm] x^2|y_1-y_2| \le L|y_1-y_2| [/mm] für alle [mm] x,y_1,y_2 \in [/mm] [0, [mm] \infty)
[/mm]
Wähle nun [mm] y_2=0 [/mm] und [mm] y_1=1, [/mm] so würde
[mm] x^2 \le [/mm] L für alle x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty)
[/mm]
folgen. Das ist aber Quatsch. Fazit: es gibt kein L so, dass (*) gilt.
b) Hier ist [mm] f(x,y_1)-f(x,y_2)=\bruch{1}{1+x^2}(y_1-y_2), [/mm] also
[mm] |f(x,y_1)-f(x,y_2)|=\bruch{1}{1+x^2}|y_1-y_2| \le |y_1-y_2|,
[/mm]
denn [mm] \bruch{1}{1+x^2} \le [/mm] 1. Fazit: es gilt (*) mit L=1.
> wenn ja woher weiß ich, ob [mm]y_{1}[/mm] größer ist oder [mm]y_{2}?[/mm]
Das ist völlig wurscht
FRED
>
>
> Vielen Dank.
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> > Es sei I:=[0, [mm]\infty].[/mm] Weiter sei A die Aussage: f(x,y)
> > erfüllt eine Lipschitzbedingung in y auf dem Intervall
> > IxI. Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an.
> >
> > A ist wahr ; A ist falsch
> >
> > a) [mm]f(x,y)=x^{2}y[/mm]
> >
> > b) [mm]f(x,y)=\bruch{1}{1+x^{2}}y[/mm]
> >
> > c) [mm]f(x,y)=\bruch{1}{1-x}y[/mm]
[mm] f(x,y_{1})-f(x,y_{2})=\bruch{1}{1-x}(y_{1}-y_{2})
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{1-x}(y_{1}-y_{2})| \le L*|(y_{1}-y_{2})|
[/mm]
wähle [mm] y_{1}=1 [/mm] und [mm] y_{2}=0 [/mm] :
[mm] \bruch{1}{1-x} \le [/mm] L
--> Bedingung wäre erfüllt, wenn man für x=1 einsetzen könnte, geht aber nicht und somit im Bereich 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \infty [/mm] nicht lipschitzstetig.
> >
> > d) [mm]f(x,y)=\bruch{1}{1+x^{2}}y^{2}[/mm]
[mm] f(x,y_{1})-f(x,y_{2})=\bruch{1}{1+x^{2}}(y_{1}^{2}-y_{2}^{2})
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{1+x^{2}}(y_{1}^{2}-y_{2}^{2})| \le L*|(y_{1}^{2}-y_{2}^{2})|
[/mm]
wähle [mm] y_{1}=1 [/mm] und [mm] y_{2}=0 [/mm] :
[mm] \bruch{1}{1+x^{2}} \le [/mm] L
Für L=1 ist die Bedingung erfüllt und somit lipschitzstetig.
> >
> > e) [mm]f(x,y)=x^{2}+2y[/mm]
[mm] f(x,y_{1})-f(x,y_{2})=(x^{2}+2y_{1})-(x^{2}+2y_{2})=2y_{1}-2y_{2}
[/mm]
[mm] |2y_{1}-2y_{2}| \le L*|(y_{1}-y_{2})|
[/mm]
wähle [mm] y_{1}=1 [/mm] und [mm] y_{2}=0 [/mm] :
2 [mm] \le [/mm] L
Die Bedingung ist für L=2 erfüllt und somit lipschitzstetig.
Korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Do 31.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Du hast überhaupt nicht verstanden worum es geht !
Die Vorgehensweise "spezielle Wahl von [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2" [/mm] ist nur geeignet , um zu zeigen, dass f keiner Lipschitzbedingung bezüglich y genügt.
FRED
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> Du hast überhaupt nicht verstanden worum es geht !
Tut mir leid, bin derzeit noch Laie auf dem Gebiet. Vielleicht könntest du einen neuen Anlauf starten und es einfacher erklären.
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> Die Vorgehensweise "spezielle Wahl von [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2"[/mm] ist nur
> geeignet , um zu zeigen, dass f keiner Lipschitzbedingung
> bezüglich y genügt.
"f keiner Lipschitzbedingung bezüglich y genügt" den Satz verstehe nicht. bitte um einfache erklärung.
>
> FRED
Danke vielmals.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Do 31.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Du hast überhaupt nicht verstanden worum es geht !
>
> Tut mir leid, bin derzeit noch Laie auf dem Gebiet.
> Vielleicht könntest du einen neuen Anlauf starten und es
> einfacher erklären.
Noch 2 beispiele:
1. f(x,y)= [mm] \bruch{1}{1-x}y. [/mm] Wir nehmen wieder an mit einem L [mm] \ge [/mm] 0 würde
(*) $ [mm] |f(x,y_1)-f(x,y_2)| \le L|y_1-y_2| [/mm] $ für alle $ [mm] x,y_1,y_2 \in [/mm] $ [0, $ [mm] \infty) [/mm] $ (x [mm] \ne [/mm] 1)
gelten.
Dann: [mm] $\bruch{1}{|1-x|}|y_1-y_2| \le |y_1-y_2| [/mm] $
. Mit [mm] y_2=123 [/mm] und [mm] y_1=3 [/mm] würde folgen:
[mm] $\bruch{1}{|1-x|}*120 \le [/mm] L*120$
Das zieht nach sich: 1 [mm] \le [/mm] L|1-x| für x [mm] \ne [/mm] 1
Lasse x [mm] \to [/mm] 1 gehen und Du siehst den Unfug 1 [mm] \le [/mm] 0 . Für kein L gilt also (*)
2. f(x,y)= [mm] x^2+2y. [/mm] Man sieht sofort:
[mm] $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|= 2|y_1-y_2|
[/mm]
Es gilt also (*) mit L=2.
>
> >
> > Die Vorgehensweise "spezielle Wahl von [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2"[/mm] ist nur
> > geeignet , um zu zeigen, dass f keiner Lipschitzbedingung
> > bezüglich y genügt.
>
> "f keiner Lipschitzbedingung bezüglich y genügt" den
> Satz verstehe nicht. bitte um einfache erklärung.
f genügt eine Lipschitzbed. bezügl. y : [mm] \gdw [/mm] es ex. ein L $ [mm] \ge [/mm] $ 0 mit:
(*) $ [mm] |f(x,y_1)-f(x,y_2)| \le L|y_1-y_2| [/mm] $ für alle $ [mm] x,y_1,y_2 \in [/mm] $ [0, $ [mm] \infty) [/mm] $
FRED
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> >
> > FRED
>
>
> Danke vielmals.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Do 31.03.2011 | | Autor: | monstre123 |
super. habs jetzt verstanden.
ich danke dir noch vielmals.
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