Lipschitzstetigkeit R^n < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 So 24.08.2014 | | Autor: | Hikari |
| Aufgabe | | Glatte Funktionen mit kompaktem Träger auf [mm] R^n [/mm] sind lipschitzstetig. |
Hi, wenn ich die Funktion auf ihrem kompaktem Träger betrachte ist die Ableitung, da sie auch stetig sein und der Träger kompakt ist, beschränkt.
Wenn ich sie außerhalb davon betrachte ist die Funktion Null. Also muss die Ableitung dann auch Null sein. Aber das Problem sehe ich in den Punkten in denen der Träger an den Nichtträger grenzt. Wie zeige ich da, im [mm] R^n [/mm] dass die Ableitung Null sein muss?Im Eindimensionalen würde ich es mit dem Differnenzenquotinten machen aber den habe ich ja so leicht nicht zur Verfügung. Wie gehe ich denn hier am besten vor? Wenn ich mir die allgemeine Definition der Ableitung angucke (die ich wage aus meinen Anfangssemester in Erinnerung habe) komme ich da nicht wirklich weit,Hat da jemand eine Idee/einen Satz der mir weiterhelfen könnte, bzw waren meine jetztigen Überlegungen korrekt.
Ich wäre äußerst dankbar für Hilfe!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:38 So 24.08.2014 | | Autor: | Hikari |
Die Ableitung besteht ja aus vielen partiellen Ableitungen wenn ich es für eine zeige, könnte ich dann nutzen dass alle null sind und deswegen die Ableitung auch außerhalb des Supports beschränkt ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 26.08.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 So 24.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Glatte Funktionen mit kompaktem Träger auf [mm]R^n[/mm] sind
> lipschitzstetig.
> Hi, wenn ich die Funktion auf ihrem kompaktem Träger
> betrachte ist die Ableitung, da sie auch stetig sein und
> der Träger kompakt ist, beschränkt.
> Wenn ich sie außerhalb davon betrachte ist die Funktion
> Null. Also muss die Ableitung dann auch Null sein. Aber das
> Problem sehe ich in den Punkten in denen der Träger an den
> Nichtträger grenzt. Wie zeige ich da, im [mm]R^n[/mm] dass die
> Ableitung Null sein muss?Im Eindimensionalen würde ich es
> mit dem Differnenzenquotinten machen aber den habe ich ja
> so leicht nicht zur Verfügung. Wie gehe ich denn hier am
> besten vor? Wenn ich mir die allgemeine Definition der
> Ableitung angucke (die ich wage aus meinen Anfangssemester
> in Erinnerung habe) komme ich da nicht wirklich weit,Hat da
> jemand eine Idee/einen Satz der mir weiterhelfen könnte,
> bzw waren meine jetztigen Überlegungen korrekt.
> Ich wäre äußerst dankbar für Hilfe!
der Satz müßte eigentlich auch schon gelten, wenn [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR^n$ [/mm] kompakten
Träger hat und einmal stetig differenzierbar ist.
Gemäß
![[]](/images/popup.gif) Satz 19.13
gilt doch in allen Punkten $x [mm] \in \IR^n\,,$ [/mm] dass mit
[mm] $\IR^n \ni [/mm] y [mm] \mapsto A(y):=J_f(y)$
[/mm]
[mm] ("$A\,$ [/mm] bildet jeden Punkt auf seine totale Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] ab - [mm] $J_f(y)$ [/mm] ist
die Jacobimatrix von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $y\,$")
[/mm]
die Funktion [mm] $A\,$ [/mm] stetig in [mm] $x\,$ [/mm] ist.
Nach
Bemerkung und Definition 20.13
haben wir die Voraussetzung der Stetigeit der partiellen Ableitungen im
obigen Fall gegeben.
Nun kann man sagen: "Naja, aber wir haben stetig differenzierbar doch
anders definiert - gar nicht wie dort im Skript mit den partiellen
Ableitungen..."
In Heuser, Analysis 2, 11. Auflage, S.262 steht aber in Satz 164.4, dass
die Begriff äquivalent sind. (Die Definition von [mm] $C^1(G)$ [/mm] findest Du dort auf
Seite 250, sie entspricht der aus dem Skript (20.13)).
Grund (salopp): "Die Frage nach der Konvergenz einer Matrizenfolge" ist
nichts anderes als die Frage, ob alle "Eintragsfolgen" konvergieren.
(Beachtenswert ist hierbei auch, dass es egal ist, bzgl. welcher Norm man
die Matrizen untersucht, da diese Normen äquivalent (klick!) sind.)
Also fassen wir mal salopp zusammen:
Auf dem Inneren des kompakten Trägers ist [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt. (Hier braucht
man natürlich irgendeine Matrixnorm - bspw. die Operatornorm.) Außerhalb
des kompakten Trägers verschwindet [mm] $f\,'.$
[/mm]
Wenn nun [mm] $x_\partial\,$ [/mm] ein Randpunkt des kompakten Trägers ist, dann sei
[mm] $A(x_\partial)$ [/mm] die Jacobimatrix dieses Randpunktes.
Nun nähern wir uns mit einer Folge von Punkten [mm] $x_n\,,$ [/mm] die alle außerhalb
des kompakten Trägers liegen, gegen den Punkt [mm] $x_\partial\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $0=A(x_n) \to A(x_\partial)\,,$
[/mm]
weil [mm] $A\,$ [/mm] stetig in [mm] $x_\partial$ [/mm] sein muss. Daher [mm] $A(x_\partial)=0\,.$
[/mm]
P.S. Ich habe mir auch gerade überlegt, und ich denke, dass das in diesem
Zusammenhang eine interessante Frage ist, ob nicht einfach schon gilt:
Ist $f [mm] \colon \IR^n \to \IR^m$ [/mm] differenzierbar auf [mm] $\overline{\Omega}\,,$ [/mm] so ist auch [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt auf [mm] $\overline{\Omega}\,.$
[/mm]
P.P.S. Und wenn mich nicht alles täuscht, kannst Du auch einfach in
Bemerkung 23.2.2 des Skriptes gucken, um Deine Frage zu beantworten.
Denn egal, welche Überlegungen von mir oben zu der Beschränktheit der
Ableitung vorgenommen worden sind:
Ich kenne den Satz, dass eine (differenzierbare) Funktion (genau) dann
Lipschitzstetig ist, wenn ihre Ableitung beschränkt ist, eigentlich nur für
Funktionen einer reellen Variablen. Ob's dazu auch eine mehrdimensionale
Variante gibt, weiß ich nicht und da bin ich auch gerade zu faul, mir das
zu überlegen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 24.08.2014 | | Autor: | Hikari |
ok erstmal zum rekapitulieren:
Da die partiellen Ableitungen an jedem Punkt stetig sind, ist auch der Gradient stetig.Die partiellen Ableitungen müssen wiederrum stetig sein da die Funktion ja nochmal differenziertbar ist.
Da der Gradient nun stetig ist muss auch im Randpunkt die Ableitung Null sein, richtig?
Ich hatte mehere Tutoren gefragt und die meinten auf [mm] R^n [/mm] müsste es "eigentlich auch" gelten. ich hatte dazu dies hier gefunden im Netz:http://stefuzius.wordpress.com/2013/10/26/eine-differenzierbare-funktion-ist-lipschitz-stetig-gdw-ihre-erste-ableitung-beschrankt-ist/
aber ich bin mir nicht sciher ob es halt auch für meine Situation gilt.(auch weil ich nicht notwendigerweise einen metrischen raum gegeben habe wobei wir ja auch keine Norm definiert haben und ich jetzt spontan die Operatornorm genommen hätte)
inweieweit die Bemerkung mein Problem löst verstehe ich aber leider nicht..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 24.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok erstmal zum rekapitulieren:
> Da die partiellen Ableitungen an jedem Punkt stetig sind,
> ist auch der Gradient stetig.Die partiellen Ableitungen
> müssen wiederrum stetig sein da die Funktion ja nochmal
> differenziertbar ist.
in Deinem Falle ja - "glatt" bedeutet ja unendlich oft differenzierbar. Im
Falle der [mm] $C^1$-Funktion [/mm] habe ich auf den Heuser verwiesen, wo, mit dem Ergebnis
aus dem Skript, begründet wird, dass die Ableitungsfunktion stetig ist.
Anders gesagt "stetig differenzierbar" und [mm] "$C^1$-Funktion" [/mm] bedeutet hier
das gleiche.
> Da der Gradient nun stetig ist muss auch im Randpunkt die
> Ableitung Null sein, richtig?
Ja.
> Ich hatte mehere Tutoren gefragt und die meinten auf [mm]R^n[/mm]
> müsste es "eigentlich auch" gelten.
Mich würde es dann nur wundern, dass das niemand festgehalten hat.
Insbesondere sollte es dann in Wiki stehen. Aber wirklich heißen tut
das nichts.
> ich hatte dazu dies hier gefunden im
> Netz:http://stefuzius.wordpress.com/2013/10/26/eine-differenzierbare-funktion-ist-lipschitz-stetig-gdw-ihre-erste-ableitung-beschrankt-ist/
> aber ich bin mir nicht sciher ob es halt auch für meine
> Situation gilt.
Ach, das was die schreiben, ist doch Quatsch. Erstmal muss man definieren,
was Beschränktheit in einem metrischen Raum heißt:
http://de.wikipedia.org/wiki/Beschr%C3%A4nktheit#Metrische_R.C3.A4ume
Und dann schreiben die [mm] $|x-y|\,$ [/mm] usw., was durch $d(x,y)$ zu ersetzen wäre (wenn
[mm] $(X,d)\,$ [/mm] der "erste" metrische Raum ist) und analog wäre $|f(x)-f(y)|$ durch
[mm] $e(f(x),f(y))\,$ [/mm] zu ersetzen (wenn [mm] $(Y,e)\,$ [/mm] der andere ist). Und die ganzen
Rechnungen dort sind doch einfach nur Rechnungen für speziell [mm] $X=Y=\IR$ [/mm] mit
[mm] $d=e=|.|_{\IR}.$
[/mm]
Das ist doch der "Standardbeweis".
Ich frage mal bei Fred nach, der kann hier sicher mehr dazu sagen...
> (auch weil ich nicht notwendigerweise einen
> metrischen raum gegeben habe wobei wir ja auch keine Norm
> definiert haben und ich jetzt spontan die Operatornorm
> genommen hätte)
> inweieweit die Bemerkung mein Problem löst verstehe ich
> aber leider nicht..
Da steht doch ein Beweis in Klammern.
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:38 So 24.08.2014 | | Autor: | Hikari |
Naja das ich irgendetwas im Internet nicht finde, aber dann in irgendeinem Buch xy und auch nicht wirklich in irgendeinem anderen das hab ich schon oft erlebt und daher sagen wir gehofft dass es, auf die Überlegungen aller hin schon gelten würde. Das war natürlich mein Fehler und zeitbedingte Schlampigkeit.
_
Das sehe ich zwar aber die reden doch in dem Beweis vom einer lokalen Lipschitzstetigkeit, wobei die Lipschitzkonstante abhängig ist von der kompakten Teilmenge die ich jezt betrachte.Betrachte ich nun jetzt als K meinen kompakten Träger und da es außerhalb eh Null ist ist die Lipschitzkonstante des kompakten Trägers dann größer(/gleich) dem außerhalb oder wie darf ich das verstehen?Und wer sagt denn jetzt prinzipell dass ich diese Lipschitzkonstanten finde wenn der Satz mit der stetigen Differenzierbarkeit nicht gilt?
Update: Ich sehe gerade die EBmerkung bezieht sich auf jede Umgebung. Jetzt müsste ich das ganze gar für jeden Punkt zeigen oder?(bzw Sätze nutzen die mir das geben)...ich verstehe leider nicht in wiefern das eine Verbesserung zur Ausgangssituation ist.
Update:
...Ok jetzt sehe ich endlich Nummer 2...Ja passt passt schon viel eher auf meine Situation:)Da meine Funktion stetige Ableitungen hat ist sie demnach lokal lipschitzstetig, oder?
Dennoch habe ich jetzt wieder nur lokale Lipschitzstetigkeit.Wie kann ich das nun verallgemeinern?Nehme ich nun einfach als globale Lipschitzkonstante die die auf dem kompakten Träger arbeitet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hikari,
> Naja das ich irgendetwas im Internet nicht finde, aber dann
> in irgendeinem Buch xy und auch nicht wirklich in
> irgendeinem anderen das hab ich schon oft erlebt und daher
> sagen wir gehofft dass es, auf die Überlegungen aller hin
> schon gelten würde. Das war natürlich mein Fehler und
> zeitbedingte Schlampigkeit.
> _
> Das sehe ich zwar aber die reden doch in dem Beweis vom
> einer lokalen Lipschitzstetigkeit, wobei die
> Lipschitzkonstante abhängig ist von der kompakten
> Teilmenge die ich jezt betrachte.Betrachte ich nun jetzt
> als K meinen kompakten Träger und da es außerhalb eh Null
> ist ist die Lipschitzkonstante des kompakten Trägers dann
> größer(/gleich) dem außerhalb oder wie darf ich das
> verstehen?Und wer sagt denn jetzt prinzipell dass ich diese
> Lipschitzkonstanten finde wenn der Satz mit der stetigen
> Differenzierbarkeit nicht gilt?
ja, Du hast Recht, ich hab' nicht gut genug hingeguckt: In Bemerkung 23.2
steht nur etwas von lokaler Lipschitzstetigkeit. Das ist natürlich zu wenig
für Deine Zwecke. Aber benutze mal die Kompaktheit, d.h., überdecke
Deine kompakte Menge mit einer offenen Überdeckung, wobei Du weißt,
dass jede offene Umgebung eines Punktes die lokale Lipschitzstetigkeit
erfüllt. Dann existiert eine endliche Teilüberdeckung ... und dann nimmst
Du am Ende ... (naja, was genau, das müssen wir uns noch überlegen).
> Update: Ich sehe gerade die EBmerkung bezieht sich auf jede
> Umgebung. Jetzt müsste ich das ganze gar für jeden Punkt
> zeigen oder?(bzw Sätze nutzen die mir das geben)...ich
> verstehe leider nicht in wiefern das eine Verbesserung zur
> Ausgangssituation ist.
Es ist keine Verbesserung, sollte aber die Behauptung nach sich ziehen.
Siehe obige Überlegung!
> Update:
> ...Ok jetzt sehe ich endlich Nummer 2...Ja passt passt
> schon viel eher auf meine Situation:)Da meine Funktion
> stetige Ableitungen hat ist sie demnach lokal
> lipschitzstetig, oder?
Genau.
> Dennoch habe ich jetzt wieder nur lokale
> Lipschitzstetigkeit.Wie kann ich das nun
> verallgemeinern?Nehme ich nun einfach als globale
> Lipschitzkonstante die die auf dem kompakten Träger
> arbeitet?
Siehe oben: Sei [mm] $K\,$ [/mm] die kompalte Menge. Sei für $x [mm] \in [/mm] K$
[mm] $U_{\epsilon(x)}(x)\,$
[/mm]
eine offene Umgebung von [mm] $x\,,$ [/mm] auf welcher die Funktion, wenn man sie auf
diese einschränkt, eine lokale Lipschitzkonstante $L(x) > 0$ habe.
Dann gilt
$K [mm] \subseteq \bigcup_{x \in K}U(x)\,,$
[/mm]
also gibt es wegen der Kompaktheit von [mm] $K\,$ [/mm] auch [mm] $x_1,...,x_N \in [/mm] K$ mit
$K [mm] \subseteq \bigcup_{m=1}^n U(x_k)\,.$
[/mm]
Wenn nun $x,y [mm] \in [/mm] K$ sind mit $x [mm] \in [/mm] U(y)$ oder $y [mm] \in U(x)\,,$ [/mm] so ist klar, dass
wir die Lipschitzbedingung erfüllen.
Wenn $U(x) [mm] \cap U(y)=\varnothing\,,$ [/mm] so können wir sicher einen Polygonzug
mit Ecken in [mm] $p_k \in U(x_k)$ [/mm] finden, der [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] verbindet, wobei [mm] $p_k \in U_{k} \cap U_{k+1}$ [/mm] ($k=1,...,N$),
wenn wir die [mm] $x_k$ [/mm] auch noch geeignet umnummerieren.
(Ich hoffe jedenfalls, dass ich da nichts übersehe; ich habe da eine gewisse
bildlische Vorstellung, die sich hoffentlich als nicht falsch herausstellt.)
Dann wäre nach der Dreiecksungleichung
$e(f(x),f(y)) [mm] \le e(f(x),f(p_1))+e(f(p_1),f(p_2))+...+e(f(p_{N-1}),f(p_N))+e(f(p_N),f(y))$
[/mm]
Hmm.... wenn ich jetzt, wie ich vorhatte, einfach die lokalen Lipschitzkonstanten
ins Spiel bringe, komme ich aber leider auch zu keiner vernünftigen
Abschätzung. Ist wohl doch nicht so einfach, mit der Kompaktheit
die Lipschitzstetigkeit auf [mm] $K\,$ [/mm] zu folgern, wenn wir lokale Lipschitzstetigkeit
haben.
Das Problem ist, dass wir [mm] $d(p_k,p_{k+1}) \le [/mm] d(x,y)$ nicht haben - bzw. uns
würde schon
[mm] $d(p_k,p_{k+1}) \le [/mm] M*d(x,y)$ [mm] ($p_0:=x$ [/mm] und [mm] $p_{N+1}:=y$)
[/mm]
mit einer von [mm] $k\,$ [/mm] unabhängigen konstanten $M > [mm] 0\,$ [/mm] reichen. Vielleicht fällt
ja jemanden was dazu ein oder sieht einen anderen Weg, wie man den
Beweis führen kann.
P.S. Bitte schreibe Deine Gedanken mal ein wenig sortierter auf, auch,
wenn meine obigen Überlegungen jetzt auch etwas chaotich sind. Sie
sind auch ein wenig "aus dem Stehgreif heraus" entstanden, d.h., ich
habe diese Überlegungen jetzt mal gerade so angestellt, ohne wirklich
großartig lange über alle Details nachzudenken.
Damit sich noch andere das hier angucken stelle ich die Frage mal auf
halb beantwortet.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mo 25.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Den folgenden Satz findet man in "Analysis II" , §4.2, von W. Walter.
Zunächst einige Bezeichnungen:
[mm] ||*||_n [/mm] sei irgendeine Norm auf [mm] \IR^n, ||*||_m [/mm] sei irgendeine Norm auf [mm] \IR^m [/mm] und [mm] ||*||_O [/mm] sei die von [mm] ||*||_n [/mm] und [mm] ||*||_m [/mm] erzeugte Operatornorm auf [mm] \IR^{n \times m}.
[/mm]
Für $x,y [mm] \in \IR^n$ [/mm] sei [mm] \overline{xy} [/mm] die Verbindungsstrecke von $x$ und $y$
SATZ: Ist $D [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] offen und $f:D [mm] \to \IR^m$ [/mm] stetig differenzierbar und gilt mit einem $L [mm] \ge [/mm] 0$ :
[mm] $||f'(x)||_O \le [/mm] L$ für alle $x [mm] \in [/mm] D$,
so ist
[mm] $||f(x)-f(y)||_m \le L*||x-y||_n$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $\overline{xy} \subseteq [/mm] D$.
Ist $D$ konvex, so gilt
[mm] $||f(x)-f(y)||_m \le L*||x-y||_n$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in [/mm] D$.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Hikari |
Danke für eure Antworten, es hilft mir wirklich sehr. Wenn ich das richtig sehe wäre der Satz den Fred gepostet hat doch nun eine Version von dem eindimensionalen Lipschitz<->stetig diffbar mit 1.Ableitung beschränkt Satz [mm] oder?R^n [/mm] ist ja offen und konvex müsste es wenn ich es mir kurz überlege ja auch sein da wir ja die Standarttopologie haben-sprich alle Linearkombinationen sind wieder in der Menge. f ist stetig differenzeirbar nach Voraussetzung und wir müssen nun zeigen dass diese Beschränktheit gilt. Wegen Kompaktheit auf dem Träger ist die erste Ableitung beschränkt-auf dem Träger.Marcel hat bereits argumentiert warum die Ableitung auf dem Rest Null sein muss.Also finden wir ein L durch das die Ableitung überall auf [mm] R^n [/mm] beschränkt ist.
Jetzt haben wir [mm] R^n [/mm] aber getrennt betrachtet-ist dies ligitim?
Könnte man vielleicht so argumentieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mo 25.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für eure Antworten, es hilft mir wirklich sehr. Wenn
> ich das richtig sehe wäre der Satz den Fred gepostet hat
> doch nun eine Version von dem eindimensionalen
> Lipschitz<->stetig diffbar mit 1.Ableitung beschränkt Satz
> [mm]oder?R^n[/mm] ist ja offen und konvex müsste es wenn ich es mir
> kurz überlege ja auch sein da wir ja die Standarttopologie
> haben-sprich alle Linearkombinationen sind wieder in der
> Menge.
Was ist los ??????
> f ist stetig differenzeirbar nach Voraussetzung und
> wir müssen nun zeigen dass diese Beschränktheit gilt.
> Wegen Kompaktheit auf dem Träger ist die erste Ableitung
> beschränkt-auf dem Träger.Marcel hat bereits argumentiert
> warum die Ableitung auf dem Rest Null sein muss.Also finden
> wir ein L durch das die Ableitung überall auf [mm]R^n[/mm]
> beschränkt ist.
Ja
> Jetzt haben wir [mm]R^n[/mm] aber getrennt betrachtet-ist dies
> ligitim?
Was meinst Du damit ?
> Könnte man vielleicht so argumentieren?
Wie ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Hikari |
> > Danke für eure Antworten, es hilft mir wirklich sehr. Wenn
> > ich das richtig sehe wäre der Satz den Fred gepostet hat
> > doch nun eine Version von dem eindimensionalen
> > Lipschitz<->stetig diffbar mit 1.Ableitung beschränkt Satz
> > [mm]oder?R^n[/mm] ist ja offen und konvex müsste es wenn ich es mir
> > kurz überlege ja auch sein da wir ja die Standarttopologie
> > haben-sprich alle Linearkombinationen sind wieder in der
> > Menge.
>
>
> Was ist los ??????
> > f ist stetig differenzeirbar nach Voraussetzung und
> > wir müssen nun zeigen dass diese Beschränktheit gilt.
> > Wegen Kompaktheit auf dem Träger ist die erste Ableitung
> > beschränkt-auf dem Träger.Marcel hat bereits argumentiert
> > warum die Ableitung auf dem Rest Null sein muss.Also finden
> > wir ein L durch das die Ableitung überall auf [mm]R^n[/mm]
> > beschränkt ist.
>
> Ja
>
>
> > Jetzt haben wir [mm]R^n[/mm] aber getrennt betrachtet-ist dies
> > ligitim?
>
> Was meinst Du damit ?
>
>
> > Könnte man vielleicht so argumentieren?
>
> Wie ?
>
> FRED
Ich bin nun irgendwie verwirrter als vorher. Was meinst du mit "Was ist los?"
Sind die Überlegungen so derbe falsch?Ich habe doch nur die Voraussetzungen geprüft und wenn ich das richtig analysiere brauchen wir die Konvexität von [mm] R^n, [/mm] da das ja unser Definitionsbereich ist und es muss offen sein.
Offen ist es schonmal. Nicht in jeder Topologie muss Konvexität gegeben sein oder?Da bin ich mir gerade nicht so sicher und es ist im ja nun auch nicht relevant für die Aufgabe nur für die Standarttopologie und hier müsste Konvexität gelten oder?
Mit ist das ligitim meine ich dass ich den [mm] R^n [/mm] jetzt ja "gestückelt" betrachte, also einmal f' auf dem Träger und einmal auf dem Rest.Es ist aber das gleiche wie im eindimensionalen von daher habe ich mir die Frage damit selber beantwortet.Ich war mir nur nicht ganz sicher, wegen der Formulierung des Satzes aber wenn ich näher drüber nachdenke müsste es kein Problem geben.
So argumentieren:Ich meine damit mit dem was wir oben gezeigt haben und den neuen Erkenntnissen die du in den Raum geworfen hast.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mo 25.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Danke für eure Antworten, es hilft mir wirklich sehr. Wenn
> > > ich das richtig sehe wäre der Satz den Fred gepostet hat
> > > doch nun eine Version von dem eindimensionalen
> > > Lipschitz<->stetig diffbar mit 1.Ableitung beschränkt Satz
> > > [mm]oder?R^n[/mm] ist ja offen und konvex müsste es wenn ich es mir
> > > kurz überlege ja auch sein da wir ja die Standarttopologie
> > > haben-sprich alle Linearkombinationen sind wieder in der
> > > Menge.
> >
> >
> > Was ist los ??????
>
> > > f ist stetig differenzeirbar nach Voraussetzung und
> > > wir müssen nun zeigen dass diese Beschränktheit gilt.
> > > Wegen Kompaktheit auf dem Träger ist die erste Ableitung
> > > beschränkt-auf dem Träger.Marcel hat bereits argumentiert
> > > warum die Ableitung auf dem Rest Null sein muss.Also finden
> > > wir ein L durch das die Ableitung überall auf [mm]R^n[/mm]
> > > beschränkt ist.
> >
> > Ja
> >
> >
> > > Jetzt haben wir [mm]R^n[/mm] aber getrennt betrachtet-ist dies
> > > ligitim?
> >
> > Was meinst Du damit ?
> >
> >
> > > Könnte man vielleicht so argumentieren?
> >
> > Wie ?
> >
> > FRED
>
>
> Ich bin nun irgendwie verwirrter als vorher. Was meinst du
> mit "Was ist los?"
Du hast geschrieben:
"da wir ja die Standarttopologie haben-sprich alle Linearkombinationen sind wieder in der Menge."
Da hab ich mich gefragt, und frage mich immer noch: was ist los ?
> Sind die Überlegungen so derbe falsch?Ich habe doch nur
> die Voraussetzungen geprüft und wenn ich das richtig
> analysiere brauchen wir die Konvexität von [mm]R^n,[/mm] da das ja
> unser Definitionsbereich ist und es muss offen sein.
> Offen ist es schonmal. Nicht in jeder Topologie muss
> Konvexität gegeben sein oder?
Unfug ! Konvexität ist keine topologische Eigenschaft. Konvexität kann man in jedem reellen oder komplexen Vektorraum definieren.
> Da bin ich mir gerade nicht
> so sicher und es ist im ja nun auch nicht relevant für die
> Aufgabe nur für die Standarttopologie und hier müsste
> Konvexität gelten oder?
Der [mm] \IR^n [/mm] ist konvex !
>
> Mit ist das ligitim meine ich dass ich den [mm]R^n[/mm] jetzt ja
> "gestückelt" betrachte, also einmal f' auf dem Träger und
> einmal auf dem Rest.Es ist aber das gleiche wie im
> eindimensionalen von daher habe ich mir die Frage damit
> selber beantwortet.Ich war mir nur nicht ganz sicher, wegen
> der Formulierung des Satzes aber wenn ich näher drüber
> nachdenke müsste es kein Problem geben.
Ist f' stetig, so ist f' auf kompakten Mengen beschränkt.
FRED
>
> So argumentieren:Ich meine damit mit dem was wir oben
> gezeigt haben und den neuen Erkenntnissen die du in den
> Raum geworfen hast.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hikari,
> > > Danke für eure Antworten, es hilft mir wirklich sehr. Wenn
> > > ich das richtig sehe wäre der Satz den Fred gepostet hat
> > > doch nun eine Version von dem eindimensionalen
> > > Lipschitz<->stetig diffbar mit 1.Ableitung beschränkt Satz
> > > [mm]oder?R^n[/mm] ist ja offen und konvex müsste es wenn ich es mir
> > > kurz überlege ja auch sein da wir ja die Standarttopologie
> > > haben-sprich alle Linearkombinationen sind wieder in der
> > > Menge.
> >
> >
> > Was ist los ??????
>
> > > f ist stetig differenzeirbar nach Voraussetzung und
> > > wir müssen nun zeigen dass diese Beschränktheit gilt.
> > > Wegen Kompaktheit auf dem Träger ist die erste Ableitung
> > > beschränkt-auf dem Träger.Marcel hat bereits argumentiert
> > > warum die Ableitung auf dem Rest Null sein muss.Also finden
> > > wir ein L durch das die Ableitung überall auf [mm]R^n[/mm]
> > > beschränkt ist.
> >
> > Ja
> >
> >
> > > Jetzt haben wir [mm]R^n[/mm] aber getrennt betrachtet-ist dies
> > > ligitim?
> >
> > Was meinst Du damit ?
> >
> >
> > > Könnte man vielleicht so argumentieren?
> >
> > Wie ?
> >
> > FRED
>
>
> Ich bin nun irgendwie verwirrter als vorher. Was meinst du
> mit "Was ist los?"
> Sind die Überlegungen so derbe falsch?Ich habe doch nur
> die Voraussetzungen geprüft und wenn ich das richtig
> analysiere brauchen wir die Konvexität von [mm]R^n,[/mm] da das ja
> unser Definitionsbereich ist und es muss offen sein.
> Offen ist es schonmal. Nicht in jeder Topologie muss
> Konvexität gegeben sein oder?Da bin ich mir gerade nicht
> so sicher und es ist im ja nun auch nicht relevant für die
> Aufgabe nur für die Standarttopologie und hier müsste
> Konvexität gelten oder?
>
> Mit ist das ligitim meine ich dass ich den [mm]R^n[/mm] jetzt ja
> "gestückelt" betrachte, also einmal f' auf dem Träger und
> einmal auf dem Rest.Es ist aber das gleiche wie im
> eindimensionalen von daher habe ich mir die Frage damit
> selber beantwortet.Ich war mir nur nicht ganz sicher, wegen
> der Formulierung des Satzes aber wenn ich näher drüber
> nachdenke müsste es kein Problem geben.
>
> So argumentieren:Ich meine damit mit dem was wir oben
> gezeigt haben und den neuen Erkenntnissen die du in den
> Raum geworfen hast.
Du formulierst hier Sachen wirklich nicht präzise genug. Ich denke, wir
sollten das von Fred genannte Ergebnis so benutzen:
[mm] $f\,'$ [/mm] ist auf dem kompakten Träger beschränkt. Jetzt nehme ich eine
offene Kugel (die diese kompakte Menge enthält) und begründe (was
nicht schwer ist), dass [mm] $f\,'$ [/mm] auch auf dieser offenen Kugel beschränkt
ist (bzw. auf der konvexen Menge, die die kompakte enthält, wenn ich
es etwas allgemeiner formuliere).
Nach dem genannten Satz ist [mm] $f\,$ [/mm] auf der offenen Kugel Lipschitzstetig,
folglich ist [mm] $f\,$ [/mm] auch auf jeder Teilmenge dieser offenen Kugel Lipschitzstetig,
insbesondere auch auf dem kompakten Träger.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Den folgenden Satz findet man in "Analysis II" , §4.2, von
> W. Walter.
>
> Zunächst einige Bezeichnungen:
>
> [mm]||*||_n[/mm] sei irgendeine Norm auf [mm]\IR^n, ||*||_m[/mm] sei
> irgendeine Norm auf [mm]\IR^m[/mm] und [mm]||*||_O[/mm] sei die von [mm]||*||_n[/mm]
> und [mm]||*||_m[/mm] erzeugte Operatornorm auf [mm]\IR^{n \times m}.[/mm]
>
> Für [mm]x,y \in \IR^n[/mm] sei [mm]\overline{xy}[/mm] die Verbindungsstrecke
> von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm]
>
> SATZ: Ist [mm]D \subseteq \IR^n[/mm] offen und [mm]f:D \to \IR^m[/mm] stetig
> differenzierbar und gilt mit einem [mm]L \ge 0[/mm] :
>
> [mm]||f'(x)||_O \le L[/mm] für alle [mm]x \in D[/mm],
>
> so ist
>
> [mm]||f(x)-f(y)||_m \le L*||x-y||_n[/mm] für alle [mm]x,y \in D[/mm] mit
> [mm]\overline{xy} \subseteq D[/mm].
>
> Ist [mm]D[/mm] konvex, so gilt
>
> [mm]||f(x)-f(y)||_m \le L*||x-y||_n[/mm] für alle [mm]x,y \in D[/mm].
naja, für eine konvexe Menge sehe ich das auch ein - da sollte der Beweis
wie im Eindimensionalen mit dem Mittelwertsatz gehen. Der Mittelwertsatz
verwendet dort ja die Konvexität.
Im obigen Falle wissen wir aber über den kompakten Träger nicht, dass
er konvex ist.
Vielleicht können wir aber den kompakten Träger als Teilmenge einer
offenen, konvexen Kugel betrachten und dort den Satz dann anwenden.
Müßte, wegen der stetigen Differenzierbarkeit, ja gehen, denn die
Ableitung(sfunktion) ist in dieser genügend großen offenen Kugel ja auch
beschränkt, und Kugeln sind konvex.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Hikari |
Es tut mir leid aber auf die Gefahr hin mich zu wiederholen formuliere ich jetzt nocheinmal im Zusammenhang meine Gedanken-hoffentlich formal genug, dass es keine Unverständlichkeiten gibt (ich bin mit dem Formeladitor nicht vertraut und vermeide daher Formeln das führt aber leider nicht unbedingt zu bessererm Verständnis)
Sei f eine glatte Funktion mit kompaktem Träger. Dann ist f' stetig und auf dem kompakten Träger beschränkt da stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind.Sei [mm] B_{supp} [/mm] eine offene Kugel um den Träger.Dann ist [mm] B_{supp} [/mm] konvex.Wegen der stetigen Differenzierbarkeit von f' (da f glatt ist) sind die partiellen Ableitungen von f in jedem Punkt stetig und daher ist der Gradient stetig.Folglich muss die Ableitung im Randpunkt des kompakten Trägers Null sein, da außerhalb des Trägers gilt:
für alle x [mm] \in supp^c [/mm] gilt f(x)=0.
Wir erhalten dadurch dass [mm] ||f'(x)||_o \leq [/mm] L für x [mm] \in B_{supp} [/mm] gilt.Da [mm] B_{supp} [/mm] konvex ist, gilt dass f Lipschitzstetig auf [mm] B_{supp} [/mm] ist.
Aber jetzt habe ich die Lipschitzstetigkeit nur in der Kugel gezeigt oder?Ich brauche sie doch aber auf ganz [mm] R^n.Ich [/mm] weiß zwar dass f(x)=0 und damit die Ungleichung auch erfüllt sein wird (da ich nun [mm] 0\leq [/mm] L [mm] \cdot ||x-y||_n [/mm] dort stehen habe).Kann ich deshalb sagen dass die Funktion auf [mm] R^n [/mm] lipschitzstetig ist? (anschaulich ist mir das klar aber ich möchte lieber nochmal sicher gehen)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hikari,
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> Es tut mir leid aber auf die Gefahr hin mich zu wiederholen
> formuliere ich jetzt nocheinmal im Zusammenhang meine
> Gedanken-hoffentlich formal genug, dass es keine
> Unverständlichkeiten gibt (ich bin mit dem Formeladitor
> nicht vertraut und vermeide daher Formeln das führt aber
> leider nicht unbedingt zu bessererm Verständnis)
ich verstehe nie, was daran so schwer ist:
https://matheraum.de/mm
bzw.
http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX
Benutzt Du kein (La)Tex?
> Sei f eine glatte Funktion mit kompaktem Träger. Dann ist
> f' stetig und auf dem kompakten Träger beschränkt da
> stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt
> sind.Sei [mm]B_{supp}[/mm] eine offene Kugel um den Träger.Dann ist
> [mm]B_{supp}[/mm] konvex.Wegen der stetigen Differenzierbarkeit
> von f' (da f glatt ist)
Es reicht die Stetigkeit von [mm] $f\,'$! [/mm] Aber Du meintest sicher die stetige
Diff'barkeit von [mm] $f\,$ [/mm] (Du hast aber [mm] $f\,\red{'}$ [/mm] geschrieben)!
> sind die partiellen Ableitungen von f
> in jedem Punkt stetig und daher ist der Gradient
> stetig.Folglich muss die Ableitung im Randpunkt des
> kompakten Trägers Null sein, da außerhalb des Trägers
> gilt:
> für alle x [mm]\in supp^c[/mm] gilt f(x)=0.
> Wir erhalten dadurch dass [mm]||f'(x)||_o \leq[/mm] L für x [mm]\in B_{supp}[/mm]
> gilt.Da [mm]B_{supp}[/mm] konvex ist, gilt dass f Lipschitzstetig
> auf [mm]B_{supp}[/mm] ist.
>
> Aber jetzt habe ich die Lipschitzstetigkeit nur in der
> Kugel gezeigt oder?Ich brauche sie doch aber auf ganz
> [mm]R^n.Ich[/mm] weiß zwar dass f(x)=0 und damit die Ungleichung
> auch erfüllt sein wird (da ich nun [mm]0\leq[/mm] L [mm]\cdot ||x-y||_n[/mm]
> dort stehen habe).
Nein, das hast Du so nicht da stehen. Es gibt Fallunterscheidungen zu
unternehmen!
> Kann ich deshalb sagen dass die Funktion
> auf [mm]R^n[/mm] lipschitzstetig ist? (anschaulich ist mir das klar
> aber ich möchte lieber nochmal sicher gehen)
Natürlich kannst Du das, aber bitte detailliert:
Seien $x,y [mm] \in \IR^n\,.$ [/mm] Dann gibt es doch nur 3 interessante Fälle:
1. Fall: Es gilt $f(x) [mm] \not=0$ [/mm] und $f(y) [mm] \not=0\,.$ [/mm]
Hier ist nun alles klar! [mm] ($x,y\,$ [/mm] sind ja Elemente des kompakten Trägers!)
2. Fall: Es gilt [mm] $f(x)=f(y)=0\,.$ [/mm] Hier ist alles trivial. (Das passt zu dem, was
Du oben geschrieben hast!)
3. Fall (bis auf Reihenfolge von [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$): [/mm] Es gilt [mm] $f(x)\not=0\,$ [/mm] und [mm] $f(y)=0\,.$ [/mm] (Diesen
Fall hast Du oben unterschlagen!)
Wenn [mm] $y\,$ [/mm] in [mm] $B_{supp}$ [/mm] ist, ist wieder alles klar. (Beachte, dass [mm] $y\,$ [/mm] auch
ein Randpunkt des kompakten Trägers sein kann.) Ist [mm] $y\,$ [/mm] aber
außerhalb der offenen Kugel [mm] $B_{supp}\,,$ [/mm] so kannst Du ein [mm] $y_0$ [/mm] auf der
Verbindungsstrecke [mm] $\overline{xy}$ [/mm] finden, dass [mm] $y_0 \in B_{supp}$ [/mm] erfüllt.
Es ist dann insbesondere [mm] $\|x-y\| \ge \|x-y_0\|$ [/mm] und für [mm] $y_0$ [/mm] gilt somit
[mm] $|f(y_0)-f(x)| \le L*\|x-y_0\|$ $\le$ $L*\|x-y\|\,.$
[/mm]
Linkerhand ist aber [mm] $0=f(y_0)=f(y)\,,$ [/mm] also folgt auch
[mm] $|f(y)-f(x)|\,$ $\le$ $L*\|x-y\|\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Do 28.08.2014 | | Autor: | Hikari |
ah vielen Dank!
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