Lipschitzstetigkeit einer Funk < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien f(x) und g(x) lipschitzstetige Funktionen, zeigen Sie:
Die Funktion f(x)-g(x) ist auch lipschitzstetig. |
Hi!
Also eigentlich weiss ich worauf die lipschitzstetigkeit hinaus will, aber bei diesem Beispiel steh ich auf dem Schlauch ;)
Ich hatte folgende Beweisidee:
Da f(x) und g(x) ls sind gilt:
|f(x)-f(y)| <= L|x-y| sowie
|g(x)-g(y)| <= L|x-y|
setzt man das wiederrum einfach ein, erhält man:
|f(x)-f(y)| - |g(x)-g(y)| <= L|x-y|
Wohin ich aber eigentlich kommen muss, wäre ja folgendes:
|f(x)-g(x) - f(y)-g(y)| <= L|x-y|
Wie komme ich aus dem Ansatz dahin?
Lg.
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| Aufgabe | | sei f(x) ls, zeige dass xf(x) ebenfalls ls ist. |
Ja, hier hab ich direkt das nächste Problem:
ich muss ja zeigen, dass:
|xf(x) - yf(y) | <= L |x-y| ist.
Also würde ich gerne |xf(x) - yf(y) | so umformen, dass z * |f(x) - f(y)| dasteht. doch wie bekomm ich das hin?
Lg.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 So 10.02.2008 | | Autor: | Walde |
hi nochmal,
> sei f(x) ls, zeige dass xf(x) ebenfalls ls ist.
Ist das die komplette Aufgabenstellung? Dann versteh ich auch was nicht:
Nimm zum Beispiel die Identische Abbildung f(x)=x. Die ist Lip.stetig, da offensichtlich
[mm] |f(x)-f(y)|=|x-y|\le [/mm] L|x-y| mit L=1 gilt.
Aber [mm] x*f(x)=x^2 [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] nicht Lip.stetig.
Ich vermute daher es fehlt noch was in der Aufgabenstellung?
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 So 10.02.2008 | | Autor: | nahpets87 |
Hi,
Also es gibt noch den Hinweis, dass x aus J ist und J ein beschränktes Teilinterval von I (die Funktion f(x) ist ls auf dem Intervall I).
Hätte ich dazuschreiben sollen, entschuldigung.
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| Aufgabe | | Ist |f(x)| ls, wenn f(x) ls ist. |
und gleich noch eine Frage...mann mann mann:
Also |f(x)|:
|f(x)| - |f(y)| >= |f(x) - f(y)| <= L|x-y|
Da hat man jetzt aber das PRoblem, dass wegen der Dreiecksungleich ein >= Zeichen in der Kette dabei ist. Das reicht dann ja nicht für den Beweis nehm ich an...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 So 10.02.2008 | | Autor: | Walde |
Hi Stephan,
> Ist |f(x)| ls, wenn f(x) ls ist.
> und gleich noch eine Frage...mann mann mann:
>
> Also |f(x)|:
>
> |f(x)| - |f(y)| >= |f(x) - f(y)| <= L|x-y|
>
> Da hat man jetzt aber das PRoblem, dass wegen der
> Dreiecksungleich ein >= Zeichen in der Kette dabei ist. Das
> reicht dann ja nicht für den Beweis nehm ich an...
Was du zeigen musst ist
| |f(x)|-|f(y)| | [mm] \le [/mm] L|x-y|
Es gilt
| |f(x)|-|f(y)| | [mm] \le|f(x)-f(y)|
[/mm]
(Beweis ![[]](/images/popup.gif) hier)
und da f L.stetig ist, folgt die Behauptung.
Lg walde
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Walde |
Hi Stephan,
ist J nur beschränkt oder auch abgeschlossen? Dann würde ich folgendes vorschlagen:
z.Z. [mm] |xf(x)-yf(y)|\le [/mm] L|x-y|
Meine Idee ist xf(y)-xf(y)=0 zu addieren, dann steht da
[mm] |xf(x)-yf(y)|=|xf(x)-xf(y)+xf(y)-yf(y)|\le|xf(x)-xf(y)|+|xf(y)-yf(y)|
[/mm]
[mm] =|x||f(x)-f(y)|+|f(y)|\cdot|x-y|
[/mm]
da f L.stetig ist:
[mm] =|x|\cdot L_1|x-y|+|f(y)||x-y|=|x-y|\cdot(|x|L_1+|f(y)|)
[/mm]
und wenn J beschänkt und abgeschlossen ist, kann man |x| einfach durch das Maximum von |x| im Intervall J und |f(y)| durch das Maximum von
|f(y)| auf J nach oben abschätzen. Das geht,weil f L-stetig, also auch stetig ist und dann auf einem kompakten (=beschränkt und abgeschlossen) Intervall ein Maximum hat.
Insgesamt hat man dann eine Lipschitzkonstante.
Wenn J nicht kompakt ist, bin ich mir nicht sicher, ob man das so machen kann.Vielleicht reichts dann, wenn I kompakt ist, wenn man anstatt dem Maximum von |x| das Supremum von |x| auf J nimmt und anstatt Maximum von f auf J das Maximum von f auf I. Wenn I auch nicht kompakt ist, bin ich grad überfragt.
Gute Nacht,
lg walde
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 So 10.02.2008 | | Autor: | Walde |
hi Stephan,
also zu zeigen ist
[mm] |f(x)-g(x)-(f(y)-g(y))| \le L|x-y| [/mm]
es gilt:
[mm] |f(x)-g(x)-(f(y)-g(y))| [/mm]
umordnen
[mm] =|f(x)-f(y)+g(y)-g(x)| [/mm]
Dreiecksungleichung anwenden
[mm] \le|f(x)-f(y)|+|g(y)-g(x)| [/mm]
und nun,da gilt |a-b|=|b-a|:
[mm]=|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)| [/mm]
Lip.stetigkeit von f und g ausnutzen
[mm] \le L_1|x-y|+L_2|x-y|=\underbrace{(L_1+L_2)}_{=:L}|x-y| [/mm]
Das sollte es sein.
LG walde
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