Ljapunoff Stabilitätskriterium < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei E eine Ljapunoff Funktion. und E'(y)<=0, für alle y [mm] \in [/mm] U \ {y*} dann gilt y* ist stabil. |
Hallo, in unserer Vorlesung haben wir das Stabilitätskriterium von Ljapunoff wie unten Bewiesen (für den Fall E'<=0) Nur habe ich eine Frage zum 2. Schritt. Wäre toll, wenn mir jemand dies beantworten könnte
(i) Sei ε > 0 mit Bε ⊂ U, ∂Bε = {y : |y| = ε}, und m = min{ E(y): y∈∂Bε} Dann gilt m > 0.
Wegen E(0) = 0 existiert 0 <δ<ε mit E(y) < m für alle y ∈ Bδ(0).
(Diesen schritt verstehe ich nicht so ganz. Ok E(0)=0 nach vorraussetzung.
warum gibt es deshalb aber einen offenen Kreis mit Radius δ, s.d. für alle y gilt E(y)<m???
Ist es deswegen, weil die Ljapunoff Funktion stetig ist und positiv für alle y ungleich y*. Muss es deswegen einen Kreis um (0,0) geben, s.d. dies gilt?)
hier der Rest des Beweises, der mir verständlich ist...
Sei T = {u(t) : t ≥ t0} eine Trajektorie von (9.6) und u(t1) < δ ⇒ E(u(t1)) < m(nach Wahl von δ). Da ddtE(u(t)) = ∇E(u(t)) · u (t) = ∇E(u(t)) · f(u(t)) ≤ 0, ist E(u(t))monoton fallend in t und daher E(u(t)) < m für alle t>t1.
Somit kann es kein t ≥ t1geben mit u(t) ≥ ε: Sonst existiert mindestens ein τ>t1 mit u(τ) = ε, dann mussaber E(u(τ)) ≥ m gelten (nach Wahl von m). Das kann aber nicht sein, also ist y0 = 0stabil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei E eine Ljapunoff Funktion. und E'(y)<=0, für alle y
> [mm]\in[/mm] U \ {y*} dann gilt y* ist stabil.
> Hallo, in unserer Vorlesung haben wir das
> Stabilitätskriterium von Ljapunoff wie unten Bewiesen
> (für den Fall E'<=0) Nur habe ich eine Frage zum 2.
> Schritt. Wäre toll, wenn mir jemand dies beantworten
> könnte
>
> (i) Sei ε > 0 mit Bε ⊂ U, ∂Bε = {y : |y| = ε}, und
> m = min{ E(y): y∈∂Bε} Dann gilt m > 0.
>
> Wegen E(0) = 0 existiert 0 <δ<ε mit E(y) < m für alle y
> ∈ Bδ(0).
>
> (Diesen schritt verstehe ich nicht so ganz. Ok E(0)=0 nach
> vorraussetzung.
> warum gibt es deshalb aber einen offenen Kreis mit Radius
> δ, s.d. für alle y gilt E(y)<m???
>
> Ist es deswegen, weil die Ljapunoff Funktion stetig ist
Genau ! Nimm doch mal an zu jedem δ<ε gäbe es ein [mm] y_{\delta}\in B_{\delta} [/mm] mit [mm] E(y_{\delta}) \ge [/mm] m.
Dann gibt es aber auch eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \to [/mm] 0 und [mm] E(x_n) \ge [/mm] m für jedes n. Da E stetig ist, folgt: E(0) = lim [mm] E(x_n) \ge [/mm] m > 0 , Widerspruch zu E(0)=0
FRED
> und
> positiv für alle y ungleich y*. Muss es deswegen einen
> Kreis um (0,0) geben, s.d. dies gilt?)
>
>
>
> hier der Rest des Beweises, der mir verständlich ist...
>
> Sei T = {u(t) : t ≥ t0} eine Trajektorie von (9.6) und
> u(t1) < δ ⇒ E(u(t1)) < m(nach Wahl von δ). Da
> ddtE(u(t)) = ∇E(u(t)) · u (t) = ∇E(u(t)) · f(u(t))
> ≤ 0, ist E(u(t))monoton fallend in t und daher E(u(t)) <
> m für alle t>t1.
>
> Somit kann es kein t ≥ t1geben mit u(t) ≥ ε: Sonst
> existiert mindestens ein τ>t1 mit u(τ) = ε, dann
> mussaber E(u(τ)) ≥ m gelten (nach Wahl von m). Das kann
> aber nicht sein, also ist y0 = 0stabil
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super! dann hat sich alles geklärt. Danke Fred
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