Ljapunov instabilität < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei y* [mm] \in \IR^n [/mm] ein stationärer Punkt der ODE y'=f(y) und V: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine stetig diffbare Funktion, die ein strenges Minimum in y* besitzt.
Beh:
Wenn V' in y* verschwindet und sonst positiv ist, dann ist y* instabiler Punkt der ODE. |
Hallo,
ich versuche gerade obige Aufgabe zu lösen:
Leider habe ich sehr große Probleme die aufgabe zu lösen, da ich nicht so recht verstanden habe, warum die ljapunov Funktion V aufschluss über den Stabilitätscharakter gibt.
hier erstmal meine Überlegungen:
O.B.d.A sei V(y*)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] V(y)>0 für alle y [mm] \not= [/mm] y*.
sei nun y(t) eine Lösung der ODE y'=f(y) auf der offenen Menge U [mm] \subset \IR^n
[/mm]
Dann gibt es ein y* [mm] \not= [/mm] y [mm] \in [/mm] U, s.d. V(y)=a>0 , da y* striktes Minimum nach vorraussetzung.
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt eine Kugel [mm] K_\epsilon [/mm] (y*) [mm] \subset [/mm] U , s.d. V(y)<a für alle y [mm] \in K_\epsilon [/mm] (y*)
Sei nun [mm] y(t_0) \in [/mm] K_ [mm] \epsilon [/mm] (y*) gegeben.
Es gilt, dass V'>=0, und somit ist V monoton wachsend.
Da aber für alle y(t) [mm] \in K_\epsilon [/mm] (y*) gilt V(y)<a
muss y(t) für ein t>=0 die Kugel K_ [mm] \epsilon [/mm] (y*) verlassen?
wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
ich habe diese Frage auch hier gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=404272
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Fr 04.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei y* [mm]\in \IR^n[/mm] ein stationärer Punkt der ODE y'=f(y) und
> V: [mm]\IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine stetig diffbare Funktion, die ein
> strenges Minimum in y* besitzt.
>
> Beh:
> Wenn V' in y* verschwindet und sonst positiv ist, dann ist
> y* instabiler Punkt der ODE.
> Hallo,
>
> ich versuche gerade obige Aufgabe zu lösen:
>
>
> Leider habe ich sehr große Probleme die aufgabe zu lösen,
> da ich nicht so recht verstanden habe, warum die ljapunov
> Funktion V aufschluss über den Stabilitätscharakter
> gibt.
Na, dann schau mal hier:
http://www.math.uni-hamburg.de/home/lauterbach/tuhh/dglI/folien10.pdf
FRED
>
> hier erstmal meine Überlegungen:
>
> O.B.d.A sei V(y*)=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] V(y)>0 für alle y [mm]\not=[/mm] y*.
>
> sei nun y(t) eine Lösung der ODE y'=f(y) auf der offenen
> Menge U [mm]\subset \IR^n[/mm]
>
> Dann gibt es ein y* [mm]\not=[/mm] y [mm]\in[/mm] U, s.d. V(y)=a>0 , da y*
> striktes Minimum nach vorraussetzung.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt eine Kugel [mm]K_\epsilon[/mm] (y*) [mm]\subset[/mm] U ,
> s.d. V(y)<a für alle y [mm]\in K_\epsilon[/mm] (y*)
>
> Sei nun [mm]y(t_0) \in[/mm] K_ [mm]\epsilon[/mm] (y*) gegeben.
>
> Es gilt, dass V'>=0, und somit ist V monoton wachsend.
> Da aber für alle y(t) [mm]\in K_\epsilon[/mm] (y*) gilt V(y)<a
>
> muss y(t) für ein t>=0 die Kugel K_ [mm]\epsilon[/mm] (y*)
> verlassen?
>
>
> wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
>
> ich habe diese Frage auch hier gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=404272
>
>
|
|
|
| |
|
Ok danke schonmal, das hat mir etwas weiter geholfen.
Nur bin ich mir dennoch unsicher bei meinem Beweis.
wir haben in der VL definiert y* ist stabil , falls für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 es ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt,s.d. ||y(0)-y* [mm] ||<\delta \rightarrow [/mm] ||y(t)-y*|| < [mm] \epsilon
[/mm]
nun habe ich aber in meinem "beweis" gar keine Unterscheidung in [mm] \epsilon [/mm] oder [mm] \delta [/mm] umgebungen gebraucht.
Darum habe ich das gefühl, dass da was nicht stimmen kann!
nur komme ich nicht drauf.
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 06.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
