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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lösbarkeit
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Lösbarkeit: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Fr 18.01.2013
Autor: zjay

Satz 15.1 (Losbarkeitsentscheidung) Ein lineares Gleichungssystem
Ax = b ist genau dann losbar, wenn der Rang von A gleich dem Rang der
erweiterten Koezientenmatrix (A; b) ist.

Den Beweis dieses Satzes lasse ich jetzt aus. Im Skript gehts wie folgt weiter:

f: [mm] K^{n} \rightarrow K^{m} [/mm]
   x [mm] \mapsto [/mm] Ax


Es gilt [mm] L=(A,b)=f^{-1}(b), [/mm] insbesondere L(A,0)=Ker f.

Meine Frage: der erste Teil "Es gilt [mm] L=(A,b)=f^{-1}(b)" [/mm] bedeutet doch, dass die Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] : [mm] K^{m} \rightarrow K^{n} [/mm] von dem Argument b gleich der Lösungsmenge L(A,b) ist, oder? Irgendwie verstehe ich das noch, aber ein Beispiel hierzu wäre verständnisfördernd.

Das große Fragezeichen ist aber hier beim nachfolgenden Teil der Zeile: "insbesondere L(A,0)=Ker f". Ein Element k [mm] \in K^{n} [/mm] in Ker f eingesetzt ergibt 0. Das sehe ich ein, aber was hat das mit der Umkehrabbildung zu tun?

mfg,

zjay

        
Bezug
Lösbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Fr 18.01.2013
Autor: fred97


> Satz 15.1 (Losbarkeitsentscheidung) Ein lineares
> Gleichungssystem
>  Ax = b ist genau dann losbar, wenn der Rang von A gleich
> dem Rang der
>  erweiterten Koezientenmatrix (A; b) ist.
>  
> Den Beweis dieses Satzes lasse ich jetzt aus. Im Skript
> gehts wie folgt weiter:
>  
> f: [mm]K^{n} \rightarrow K^{m}[/mm]
>     x [mm]\mapsto[/mm] Ax
>  
>
> Es gilt [mm]L=(A,b)=f^{-1}(b),[/mm] insbesondere L(A,0)=Ker f.
>  
> Meine Frage: der erste Teil "Es gilt [mm]L=(A,b)=f^{-1}(b)"[/mm]
> bedeutet doch, dass die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm] : [mm]K^{m} \rightarrow K^{n}[/mm]
> von dem Argument b gleich der Lösungsmenge L(A,b) ist,
> oder? Irgendwie verstehe ich das noch, aber ein Beispiel
> hierzu wäre verständnisfördernd.


f muß keine Umkehrabb. haben !!

[mm] f^{-1}(b) [/mm] ist eine Abkürzende Schreibweise für die Menge

   [mm] \{x \in K^n:f(x)=b\} [/mm]

FRED


>  
> Das große Fragezeichen ist aber hier beim nachfolgenden
> Teil der Zeile: "insbesondere L(A,0)=Ker f". Ein Element k
> [mm]\in K^{n}[/mm] in Ker f eingesetzt ergibt 0. Das sehe ich ein,
> aber was hat das mit der Umkehrabbildung zu tun?
>  
> mfg,
>  
> zjay


Bezug
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