Lösbarkeit LGS mit Parametern < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche $t [mm] \in \R$ [/mm] ist das LGS:
[mm] $M_{t}=
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
t & -1 & 2 & 1 \\
0 & t & 0 & 2 \\
-t & 1 & -2 & t+3\\
-t & t+1 & -2 & t+5
\end{pmatrix}
[/mm]
, y = [mm] \begin{pmatrix}
3\\
0\\
1\\
1
\end{pmatrix}$
[/mm]
lösbar, unlösbar, eindeutig lösbar? Geben Sie gegenenfalls die zugehörige Lösungemenge an. Berechnen Sie zudem [mm] $det(M_{-4}). [/mm] |
Ich habe angefangen mit 4Z - 3Z:
[mm] $\left(
\begin{matrix}
t & -1 & 2 & 1 \\
0 & t & 0 & 2 \\
-t & 1 & -2 & t+3\\
0 & t & 0 & 2
\end{matrix}
\left | \begin{matrix}
& 3\\
& 0\\
& 1\\
& 0
\end{matrix}
\right)
\right$
[/mm]
4Z - 2Z und 3Z + 1Z:
[mm] $\left(
\begin{matrix}
t & -1 & 2 & 1 \\
0 & t & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & t+4\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}
\left | \begin{matrix}
& 3\\
& 0\\
& 4\\
& 0
\end{matrix}
\right)
\right$
[/mm]
Nun ist allerdings mein Problem:
4 Zeile liefert $t+4 = 4 -> t = 0$. [mm] $M_{0}$ [/mm] sieht dann wiefolgt aus:
[mm] $M_{0} [/mm] =
[mm] \left(
\begin{matrix}
0 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}
\left | \begin{matrix}
& 3\\
& 0\\
& 4\\
& 0
\end{matrix}
\right)
\right$
[/mm]
=> 2*2Z -3Z:
[mm] $M_{0} [/mm] =
[mm] \left(
\begin{matrix}
0 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}
\left | \begin{matrix}
& 3\\
& -4\\
& 4\\
& 0
\end{matrix}
\right)
\right$
[/mm]
Jetzt weiß ich schon nicht mehr weiter, da mir die 2Z eine unwahre Aussage liefert: => 0 = -4.
Wäre nett, wenn Ihr mir weiterhelfen könntet. Vielen Dank schonmal!
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Hallo, bis
[mm] \left( \begin{matrix} t & -1 & 2 & 1 \\ 0 & t & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & t+4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \left | \begin{matrix} & 3\\ & 0\\ & 4\\ & 0 \end{matrix} \right) \right
[/mm]
alles korrekt
aus Zeile 3 folgt:
[mm] (t+4)x_4=4
[/mm]
[mm] x_4=\bruch{4}{t+4} [/mm] jetzt kannst du schon sagen, für welches t das Gleichungssystem unlösbar ist
aus Zeile 2 folgt:
[mm] t*x_2+\bruch{8}{t+4}=0
[/mm]
[mm] t*x_2=-\bruch{8}{t+4}
[/mm]
jetzt kannst du schon sagen, für welches t das Gleichungssystem auch nicht lösbar ist
Steffi
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Okay aus Zeile 3 weiß ich [mm] $(t+4)x_{4} [/mm] = 4$ -> [mm] $x_{4} [/mm] = [mm] \frac{4}{t+4}$, [/mm] weil durch 0 nicht geteilt werden darf $t = -4$ unlösbar.
Für [mm] $t*x_2=-\bruch{8}{t+4}$ [/mm] folgt ebenfalls:
[mm] $x_2=-\bruch{8}{t^2+4t} [/mm] $
$1: t = 0$
$2: t = -4$
D.h. das LGS ist für $t = {0,-4}$ nicht lösbar, aber für welche t eindeutig lösbar und lösbar?
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Vielen Dank! Endlich hab ich die Aufgabe im Ganzen verstanden ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Mo 11.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Das LGS ist eindeutig lösbar [mm] \gdw det(M_t) \ne [/mm] 0.
Mit Deiner Umformung
$ [mm] $\left( \begin{matrix} t & -1 & 2 & 1 \\ 0 & t & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & t+4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \left | \begin{matrix} & 3\\ & 0\\ & 4\\ & 0 \end{matrix} \right) \right$ [/mm] $
sieht man: [mm] det(M_t)=0 [/mm] für jedes t.
FRED
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
)
