Lösbarkeit des LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:13 Mo 24.11.2008 | | Autor: | aga88 |
| Aufgabe |
1. Aufgabe:
Man zeige, dass das LGS
( x1 + [mm] (\lambda [/mm] +1) mal x2+ 2 mal [mm] \lambda [/mm] mal x3 + 2 mal [mm] \lambda [/mm] mal x4 = 2
x1+ [mm] \lambda [/mm] mal x2+ [mm] \lambda [/mm] mal x3+ [mm] \lambda [/mm] mal x4 = 1
x1+ [mm] \lambda [/mm] mal x2+ 2 mal [mm] \lambda [/mm] mal x 3+ 2 mal [mm] \lambda [/mm] x4= 2
x1+ [mm] \lambda [/mm] mal x2+ [mm] \lambda [/mm] mal x3+ 2 mal [mm] \lambda [/mm] mal x4= 1
je nach Wahl von Lamna Element aller realen Zahlen entweder unlösbar oder eindeutig lösbar ist. Man bestimme im zweiten Fall die Lösung.
Ich habe den Gauss Algorithmus angewendet und in der letzten Zeile für [mm] \lambda [/mm] = 0 rausbekommen. Nun weiß ich nicht was ich genau weiter machen soll oder ob das überhaupt richtig ist. Kann mir bitte jemand helfen?
LG
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2. Aufgabe
a) Man löse das LGS A mal x=0 mit der Koeffizientenmatrix
A= (-1 5 4 -6)
( 2 -3 -1 5 )
( 3 1 4 2 )
( 4 -2 2 6 )
b) Ist das Lineare Gleichungssystem A mal x = b lösbar für jeden Vektor [mm] b\in \IR^4 [/mm] ?
Auch hier habe ich bei a einen Ansatz:
für x habe ich den Spaltenvektor mit x1, x2, x3, x4 gemacht. Anschließend habe ich das mit A multipliziert und in eine Matrix geschrieben. Den Gauss Algorithmus habe ich ebenfalls verwendet, aber nachdem ich zumindest in der ersten Spalte -1 und in den anderen Zeilen überall 0 bekommen habe, komme ich nicht weiter.
Z.B. habe ich in der letzten Zeile als Ergebnis:
0 18 18 -18 = 0
Ich weiß nicht weiter. Bitte helft mir!
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Agata, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Deine zweite Aufgabe verstehe ich nicht - ist das wirklich die Aufgabenstellung?
Dafür rechne ich Dir mal den größten Teil der ersten Aufgabe vor. Schon vorab: Du findest hier viel leichter Hilfe, wenn Deine Aufgaben lesbare Formelsprache enthalten. Der Formeleditor ist erstaunlich mächtig, aber ein bisschen gewöhnungsbedürftig. Unter dem Eingabefeld sind Beispiele für die wichtigsten Schreibweisen, und Du bekommst den nötigen Eingabetext angezeigt, wenn Du auf dei Beispieldarstellung klickst. Probiers einfach aus. Über den Button "Vorschau" kannst Du dann sehen, ob Du es richtig gemacht hast.
Jetzt aber zur Aufgabe (1). Das LGS soll also lauten:
[mm] x_1+(\lambda+1)x_2+2\lambda x_3+2\lambda x_4=2
[/mm]
[mm] x_1+\lambda x_2+\lambda x_3+\lambda x_4=1
[/mm]
[mm] x_1+\lambda x_2+2\lambda x_3+2\lambda x_4=2
[/mm]
[mm] x_1+\lambda x_2+\lambda x_3+2\lambda x_4= [/mm] 1
In Matrizenschreibweise wäre das dann folgendes; die Zeilen seien I,II,III,IV:
[mm] \pmat{ 1 & \lambda+1 & 2\lambda & 2\lambda & 2 \\ 1 & \lambda & \lambda & \lambda & 1 \\ 1 & \lambda & 2\lambda & 2\lambda & 2 \\ 1 & \lambda & \lambda & 2\lambda & 1 }
[/mm]
Ich führe den Gauß-Algorithmus durch; I wird ersetzt durch II, die anderen Zeilen wie folgt: V=I-III, VI=I-II, VII=I-IV.
[mm] \pmat{ 1 & \lambda & \lambda & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda & 0 & 1 }
[/mm]
Nächste Umformung in eine Matrix mit den Zeilen II, V, VIII=VII-V, IX=VI-V:
[mm] \pmat{ 1 & \lambda & \lambda & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda & \lambda & 1 }
[/mm]
Und schließlich die Matrix mit den Zeilen II, V, VIII, X=IX-VIII:
[mm] \pmat{ 1 & \lambda & \lambda & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 0 }
[/mm]
Nun kannst Du Dein Ergebnis leicht ablesen: [mm] x_2=x_4=0, x_3=\bruch{1}{\lambda}, x_1=0.
[/mm]
Für welche [mm] \lambda [/mm] ist das eindeutig lösbar? Für welche nicht?
Ich habe zwischendurch eine Fallunterscheidung für [mm] \lambda [/mm] ausgelassen. Die wäre aber wichtig gewesen. 1) Wo? 2) Warum?
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