Lösbarkeit einer Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 14.08.2007 | | Autor: | peder |
| Aufgabe | Hat die Gleichung
[mm] x^2 [/mm] + 91y = 5
eine ganzzahlige Lösung? |
Hallo zusammen,
also ich hab die Gleichung erstmal in ne mod-Gleichung umgeschrieben und es dann mit dem quadratischen Reziprozitätsgesetz versucht. Weiß aber nicht ob das stimmen kann, denn dann wär´s wohl zu einfach.
Also mein Versuch:
[mm] x^2+91y=5 \gdw x^2=-91y+5 \Rightarrow x^2\equiv5 [/mm] mod91
und dann das Reziprozitätsgesetz hergenommen:
[mm] (\bruch{5}{91}) [/mm] = [mm] (\bruch{91}{5}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{5}) [/mm] = 1
und folglich gibt es einen quadratischen Rest also ist die Gleichung lösbar.
-hmm habe gerade bemerkt, dass 91 ja gar keine Primzahl ist, folglich ist mein Ansatz also komplett falsch.
Könnt ich so vorgehen, wenn 91 eine Primzahl wäre und wie muss ich richtig an diese Aufgabe rangehen?
Gruß, Michi
p.s.: habe gleich noch eine evtl. ähnliche Aufgabe die ich aber gleich als neue Frage stelle.
p.p.s.: ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Di 14.08.2007 | | Autor: | DirkG |
Versuch's doch einfach mal mit Modul 7 statt Modul 91... 
Gruß,
Dirk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:15 Mi 15.08.2007 | | Autor: | peder |
Super!
Danke auch an dich Felix. Das hilft mir enorm weiter!
schönen Tag noch,
Michi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Sandycgn |
Seltsam! Ich würde die Aufgabe ganz anders lösen:
[mm] (\bruch{5}{91})=(\bruch{5}{7})(\bruch{5}{13})=(\bruch{7}{5})(\bruch{13}{5})=(\bruch{2}{5})(\bruch{3}{5})=(\bruch{2}{5})(\bruch{5}{3})=(\bruch{2}{5})(\bruch{2}{3})
[/mm]
Nach dem 2. Ergänzungssatz zum Reziprozitätsgesetz gilt nun:
[mm] (\bruch{2}{5})=(-1)^{\bruch{5^2-1}{8}}=-1
[/mm]
[mm] (\bruch{3}{5})=(-1)^{\bruch{3^2-1}{8}}=-1
[/mm]
Also:
[mm] (\bruch{2}{5})(\bruch{3}{5})=(-1)(-1)=1
[/mm]
Also hat die Gleichung [mm] x^2+91y=5 [/mm] eine ganzzahlige Lösung.
Mache ich etwa einen Fehler?! Ich bin mir keines einzigen bewusst! :o)
Mache ich einen Fehler?!
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> Seltsam! Ich würde die Aufgabe ganz anders lösen:
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> [mm][mm] (\bruch{5}{91})=(\bruch{5}{7})(\bruch{5}{13})
[/mm]
Hallo,
ich bin zugegebenermaßen nicht so ganz "drin" in der Materie, aber obiger Schritt erscheint mir falsch.
Wie hast Du das gerechnet?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Sandycgn |
Nach folgender Regel:
Sei [mm] (\bruch{a}{n}) [/mm] mit [mm] n=(p_1)^{a_1}*...*(p_r)^{a_r}.
[/mm]
Dann gilt: [mm] (\bruch{a}{n})=(\bruch{a}{p_1})^{a_1}*...*(\bruch{a}{p_3})^{a_r}
[/mm]
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> Nach folgender Regel:
>
> Sei [mm](\bruch{a}{n})[/mm] mit [mm]n=(p_1)^{a_1}*...*(p_r)^{a_r}.[/mm]
>
> Dann gilt:
> [mm](\bruch{a}{n})=(\bruch{a}{p_1})^{a_1}*...*(\bruch{a}{p_3})^{a_r}[/mm]
>
Bist Du Dir sicher, daß es solch eine Regel gibt?
Im meinem schlauen Buch steht nur so etwas: p, [mm] p_i [/mm] Primzahlen, [mm] a_i \in \IN.
[/mm]
Dann ist [mm] (\bruch{\Pi p_i^{a_i}}{p}= \Pi (\bruch{p_i}{p})^{a_i}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Sandycgn |
Du hast Recht! Ich habe mich vertan! Ich hab's mit dem Jacobi-Symbol verwechselt....
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