Lösbarkeit eines Gleich.sys < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Hab eine Frage zur Lösbarkeit von Gleichungssystemen.
[mm] \vektor{1\\ 1\\2} \vektor{-1\\ 2\\-3} \vektor{0\\ 3\\-1}
[/mm]
Sind die Vektoren linear unabhängig??
Das heißt ich soll das Gleichungssystem
[mm] x_{1}\vektor{1\\ 1\\2} x_{2}+\vektor{-1\\ 2\\-3}x_{3}+ \vektor{0\\ 3\\-1}=0
[/mm]
lösen.
Das Gleichungssystem ist dann lösbar wenn
[mm] \vmat{ 1 & -1&0 \\ 1 & 2&3\\ 2 & -3&-1} \not=0 [/mm] ist wenn das der Fall wäre dann wären die Vektoren linearunabhängig.
Die zweite Möglichkeit wäre es über den Rang zu berechnen
Rang(A)=Rang(A,a) dabei hab ich einige Probleme
Rang [mm] A=Rang\pmat{ 1 & -1&0 \\ 1 & 2&3\\ 2 & -3&-1} [/mm]
Rang [mm] A=Rang\pmat{ 1 & -1&0 \\ 7& -7&0\\2 & -3&-1}
[/mm]
Rang [mm] A=Rang\pmat{ 0 & 0&0 \\ 7& -7&0\\2 & -3&-1} [/mm] die Matrix hat also Rang 2
wenn ich jetzt Rang (A,a) berechne
Rang [mm] (A,a)=\pmat{ 1 & -1&0 &0\\ 1 & 2&3&0\\ 2 & -3&-1&0} [/mm] müßte die Umformung ja die gleiche sein oder??
Rang [mm] (A,a)=\pmat{ 0 & 0&0 &0\\ 7 & -7&0&0\\ 2 & -3&-1&0} [/mm] das wäre dann aber auch Rang 2 was bedeuten würde es wäre lösbar
wie funktionier das mit dem Rang???
Noch eine Fage um die obigen Vektoren linear unabhängig zu machen.
Ich hab mit dem Taschenrechner ein bischen herumprobiert und um die Det [mm] \not=0 [/mm] zubekommen reicht es wenn man bei einer Komponente eines Vektors einfach das Vorzeichen ändert ist das Zufall oder immer so?
Danke Stevo
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Hallo!
> Hab eine Frage zur Lösbarkeit von Gleichungssystemen.
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> [mm]\vektor{1\\ 1\\2} \vektor{-1\\ 2\\-3} \vektor{0\\ 3\\-1}[/mm]
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> Sind die Vektoren linear unabhängig??
> Das heißt ich soll das Gleichungssystem
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> [mm]x_{1}\vektor{1\\ 1\\2} x_{2}+\vektor{-1\\ 2\\-3}x_{3}+ \vektor{0\\ 3\\-1}=0[/mm]
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> lösen.
> Das Gleichungssystem ist dann lösbar wenn
> [mm]\vmat{ 1 & -1&0 \\ 1 & 2&3\\ 2 & -3&-1} \not=0[/mm] ist wenn
> das der Fall wäre dann wären die Vektoren
> linearunabhängig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die zweite Möglichkeit wäre es über den Rang zu berechnen
> Rang(A)=Rang(A,a) dabei hab ich einige Probleme
>
> Rang [mm]A=Rang\pmat{ 1 & -1&0 \\ 1 & 2&3\\ 2 & -3&-1}[/mm]
> Rang [mm]A=Rang\pmat{ 1 & -1&0 \\ 7& -7&0\\2 & -3&-1}[/mm]
> Rang
> [mm]A=Rang\pmat{ 0 & 0&0 \\ 7& -7&0\\2 & -3&-1}[/mm] die Matrix hat
> also Rang 2
> wenn ich jetzt Rang (A,a) berechne
> Rang [mm](A,a)=\pmat{ 1 & -1&0 &0\\ 1 & 2&3&0\\ 2 & -3&-1&0}[/mm]
> müßte die Umformung ja die gleiche sein oder??
> Rang [mm](A,a)=\pmat{ 0 & 0&0 &0\\ 7 & -7&0&0\\ 2 & -3&-1&0}[/mm]
> das wäre dann aber auch Rang 2 was bedeuten würde es wäre
> lösbar
> wie funktionier das mit dem Rang???
Ich musste auch kurz überlegen, bis ich wusste, warum es trotzdem "funktioniert", du hast nämlich eine Kleinigkeit nicht beachtet:
Wenn die obige Determinante [mm] \not=0 [/mm] ist, dann ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar (es gibt also nur genau eine einzige Lösung). Wenn Rang (A) = Rang (A|b), dann gibt es mindestens eine Lösung, wenn aber genau gilt: Rang (A) = Rang (A|b) = m (oder n - jedenfalls ist damit der maximale Rang gemeint, in deinem Fall also 3), dann gibt es genau eine Lösung.
In deinem Beispiel gilt also Rang (A) = Rang (A|b) = 2, der maximale Rang wäre aber 3, also gibt es zwar Lösungen, aber keine eindeutige.
Ich habe auch lange Zeit gebraucht, um mir das merken zu können - aber vielleicht hilft dir ja das hier. Insbesondere die letzten drei Zeilen davon - davor habe ich es etwas umständlich aber ausführlich mit Beispielen aufgeschrieben. 
> Noch eine Fage um die obigen Vektoren linear unabhängig zu
> machen.
> Ich hab mit dem Taschenrechner ein bischen herumprobiert
> und um die Det [mm]\not=0[/mm] zubekommen reicht es wenn man bei
> einer Komponente eines Vektors einfach das Vorzeichen
> ändert ist das Zufall oder immer so?
Ich schätze, dass es oft so geht, ich würde mich aber nicht darauf verlassen, sondern es auf jeden Fall nachrechnen, denn vermutlich kann es zufällig sein, dass es mal nicht so ist. 
Ich hoffe, ich konnte dir helfen - viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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