Lösbarkeit eines LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Welche Bedingungen müssen die reellen Parameter a und b erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x,y
a.) eine eindeutige Lösung
b.) mehr als eine Lösung
c.) keine Lösung besitzt?
ax + y = b
x + ay = 0 |
Hallo,
hab da n kleines Problem. Zuerst habe ich ein wenig umgeformt um dann die Lösung einfacher zu sehen.
[mm] \pmat{ a & 1 \\ 1 & a }*\pmat{ x \\ y }=\pmat{ b \\ 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{1}{a} \\ 0 & a-\bruch{1}{a}}*\pmat{ x \\ y }=\pmat{ \bruch{b}{a} \\ a-\bruch{b}{a} }
[/mm]
Hab ich beim Umformen schon ein Fehler gemacht? Wenn ich z.B. für a=1 und b=0 in die zweite Zeite einsetze erhalte ich doch 0=1. Aber wenn ich es in die Ausgangform einsetze erhalte ich doch zweimal die Gleichung x+y=0 was ja kein Widerspruch erzeugen würde.
Irgendwie steh ich auf m Schlauch
|
|
| |
|
Hallo drunkenmunky,
> Welche Bedingungen müssen die reellen Parameter a und b
> erfüllen, damit das lineare Gleichungssystem in den
> Unbekannten x,y
> a.) eine eindeutige Lösung
> b.) mehr als eine Lösung
> c.) keine Lösung besitzt?
>
> ax + y = b
> x + ay = 0
> Hallo,
> hab da n kleines Problem. Zuerst habe ich ein wenig
> umgeformt um dann die Lösung einfacher zu sehen.
>
> [mm]\pmat{ a & 1 \\ 1 & a }*\pmat{ x \\ y }=\pmat{ b \\ 0 }[/mm]
>
> [mm] $\pmat{ 1 & \bruch{1}{a} \\ 0 & a-\bruch{1}{a}}*\pmat{ x \\ y }=\pmat{ \bruch{b}{a} \\ \red{a-\bruch{b}{a}} }$
[/mm]
Hier stimmt's nicht, dort sollte [mm] $-\frac{b}{a}$ [/mm] stehen, woher kommt das $a$?
Außerdem gilt deine Umformung nur für [mm] $a\neq [/mm] 0$, durch 0 teilen ist ja verboten 
Schreibe doch vllt. schöner direkt die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und bringe die in Zeilenstufenform:
[mm] $(A|b)=\pmat{ a & 1& \mid & b \\ 1 & a & \mid & 0}$
[/mm]
Nun kannst du die erste Zeile zum $(-a)$-fachen der zweiten Zeile addieren und bekommst
[mm] $\pmat{ a & 1& \mid & b \\ 0 & 1-a^2 & \mid & b}$
[/mm]
Nun schaue dir mal an, was im Falle [mm] $1-a^2=0$, [/mm] also [mm] $a=\pm [/mm] 1$ los ist in der zweiten Zeile ...
Wie sieht's da mit der Lösbarkeit aus (in Abh. von b)
Dann schaue noch, was für [mm] $a\neq\pm [/mm] 1$ passiert
>
> Hab ich beim Umformen schon ein Fehler gemacht? Wenn ich
> z.B. für a=1 und b=0 in die zweite Zeite einsetze erhalte
> ich doch 0=1. Aber wenn ich es in die Ausgangform einsetze
> erhalte ich doch zweimal die Gleichung x+y=0 was ja kein
> Widerspruch erzeugen würde.
>
> Irgendwie steh ich auf m Schlauch
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Hier stimmt's nicht, dort sollte [mm]-\frac{b}{a}[/mm] stehen, woher
> kommt das [mm]a[/mm]?
oh, da hab ich die 0 doch glatt mit nem a verwechselt :-o
> Außerdem gilt deine Umformung nur für [mm]a\neq 0[/mm], durch 0
> teilen ist ja verboten
>
> Schreibe doch vllt. schöner direkt die erweiterte
> Koeffizientenmatrix auf und bringe die in
> Zeilenstufenform:
>
> [mm](A|b)=\pmat{ a & 1& \mid & b \\ 1 & a & \mid & 0}[/mm]
Hätt ich auch gemacht, wenn ich gewusst hätte wie es geht. Aber jetzt weiss ich es, Danke.
> Nun kannst du die erste Zeile zum [mm](-a)[/mm]-fachen der zweiten
> Zeile addieren und bekommst
>
> [mm]\pmat{ a & 1& \mid & b \\ 0 & 1-a^2 & \mid & b}[/mm]
auf den Schritt wär ich glaube nicht alleine gekommen...
> Nun schaue dir mal an, was im Falle [mm]1-a^2=0[/mm], also [mm]a=\pm 1[/mm]
> los ist in der zweiten Zeile ...
>
> Wie sieht's da mit der Lösbarkeit aus (in Abh. von b)
>
> Dann schaue noch, was für [mm]a\neq\pm 1[/mm] passiert
für [mm] a=\pm1 [/mm] und b=0 beliebig viele Lösungen
für [mm] a=\pm1 [/mm] und [mm] b\not=0 [/mm] keine Lösung
für [mm] a\not=\pm1 [/mm] und [mm] b\not=1-a^2 [/mm] eindeutige Lösung
stimmt das?
|
|
|
| |
|
Hi, drunkenmonkey,
> > [mm]\pmat{ a & 1& \mid & b \\ 0 & 1-a^2 & \mid & b}[/mm]
> > Wie sieht's da mit der Lösbarkeit aus (in Abh. von b)
> >
> > Dann schaue noch, was für [mm]a\neq\pm 1[/mm] passiert
>
> für [mm]a=\pm1[/mm] und b=0 beliebig viele Lösungen
> für [mm]a=\pm1[/mm] und [mm]b\not=0[/mm] keine Lösung
> für [mm]a\not=\pm1[/mm] und [mm]b\not=1-a^2[/mm] eindeutige Lösung
Warum soll b im letzten Fall nicht [mm] 1-a^{2} [/mm] sein dürfen?!
Dann kommt halt für y=1 raus: auch eine eindeutige Lösung!
Aber Du hast noch einen Sonderfall vergessen - schachzipus hat ihn schon angedeutet: a=0.
In diesem Fall ist bereits die Umformung von schachuzipus NICHT ERLAUBT,
denn sie für zur erweiterten Koeffizientenmatrix:
[mm]\pmat{ 0 & 1& \mid & b \\ 0 & 1 & \mid & b}[/mm]
was ja heißen würde: Es gibt unendlich viele Lösungen!
In Wirklichkeit aber gibt es für a=0 genau eine eindeutige Lösung:
y=b; x=0.
Quintessenz: Du musst den Fall a=0 vor der Umformung abhandeln;
anschließend darfst Du für a [mm] \not=0 [/mm] so rechnen wie oben durchgeführt!
Bemerkung: Wenn Du anfangs die Zeilen getauscht hättest, also:
[mm]\pmat{ 1 & a& \mid & 0 \\ a & 1 & \mid & b}[/mm]
so wäre der Sonderfall a=0 überflüssig!
Denk' das nächste Mal dran!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
ok, dankeschön. ich glaub ich habs soweit kapiert 
|
|
|
|
