Lösbarkeit von Gleichungsys. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $Ax=f$
mit einer singulären Matrix A, dann gilt, dass die Gleichung dann lösbar ist, wenn
$f^Tw = 0 [mm] \forall [/mm] w: A^Tw=0$
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Hallihallo,
nun bin ich doch ein wenig unsicher geworden und würde gerne wissen, ob meine Gedanken richtig sind?
Dieses System ist nur dann lösbar, wenn f in dem von A aufgespanntem Raum ist und das ist so, wenn alle Vektoren, die auf f senkrecht stehen auch auch A senkrecht stehen?
Gruß
Alice
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Alice!
> [mm]Ax=f[/mm]
> mit einer singulären Matrix A, dann gilt, dass die
> Gleichung dann lösbar ist, wenn
> [mm]f^Tw = 0 \forall w: A^Tw=0[/mm]
Meinst du mit der letzten Formel folgendes? [mm] $\forall [/mm] w : [mm] (A^T [/mm] w = 0 [mm] \Rightarrow f^T [/mm] w = 0)$?
> nun bin ich doch ein wenig unsicher geworden und würde
> gerne wissen, ob meine Gedanken richtig sind?
>
> Dieses System ist nur dann lösbar, wenn f in dem von A
> aufgespanntem Raum ist und das ist so, wenn alle Vektoren,
> die auf f senkrecht stehen auch auch A senkrecht stehen?
Das ist eine Umformulierung der Behauptung...
Wenn du das beweisen willst, geh doch wie folgt vor: Es gibt eine invertierbare Matrix $B$ so, dass $B A$ in Zeilenstufenform ist. Sei $r$ der Rang von $A$; dann ist $r$ gerade die Anzahl der Nullzeilen von $A$.
Nun ist $A x = f$ genau dann loesbar, wenn $(B A) x = B f$ loesbar ist (siehst du warum?). Und $(B A) x = (B f)$ ist genau dann loesbar, wenn die letzten $r$ Komponenten von $B f$ gerade $0$ sind.
Jetzt ueberleg dir mal, was $(B [mm] A)^T [/mm] w = 0$ genau fuer den Vektor $w$ bedeutet. Kommst du damit weiter?
LG Felix
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