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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Löse die Gleichung
Löse die Gleichung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Löse die Gleichung: Aufgabe1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Fr 09.03.2012
Autor: Steffen2361

Aufgabe
Hi,

Ich habe folgende Aufgabe:

Man bestimme die Zahlen [mm] a_0,...,a_4, [/mm] sodass die Gleichung

[mm] sin(x)^4 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] cos(x) + [mm] a_2 [/mm] cos(2x) + [mm] a_3 [/mm] cos(3x) + [mm] a_4 [/mm] cos(4x)

für alle x [mm] \in \IR [/mm] erfüllt ist.

mfg

Also ich hätte einfach mit den Additionstheoreme angefangen

$cos(2x) = [mm] cos(x)^2 [/mm] - [mm] sin(x)^2$ [/mm]
$cos(3x) = [mm] cos(x)^3 [/mm] - 3cos(x) [mm] sin(x)^2 [/mm] $
$cos(4x) = [mm] cos(x)^4 [/mm] - 2 [mm] cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4 [/mm] - 4 sin(x) cos(x)$

Dies wiederum eingestz in meine Gleichung ergibt

[mm] sin(x)^4 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] cos(x) + [mm] a_2 (cos(x)^2 [/mm] - [mm] sin(x)^2) [/mm] + [mm] a_3 (cos(x)^3 [/mm] - 3cos(x) [mm] sin(x)^2) [/mm] + [mm] a_4 (cos(x)^4 [/mm] - 2 [mm] cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4 [/mm] - 4 sin(x) cos(x))


Jetzt weis ich nicht genau, wie ich weiter vorzugehen habe. Da in der Angabe nur "Zahlen" steht. Soll ich nun Werte einsetzen, damit die Gleichung stimmt?

Das wäre aber dann einfach, da ich einfach

[mm] a_0 [/mm] = [mm] sin(x)^4 [/mm]
[mm] a_1=..=a_4 [/mm] = 0

wähle stimmt die Gleichung

Danke euch


        
Bezug
Löse die Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Fr 09.03.2012
Autor: MathePower

Hallo steffen2361,

> Hi,
>  
> Ich habe folgende Aufgabe:
>  
> Man bestimme die Zahlen [mm]a_0,...,a_4,[/mm] sodass die Gleichung
>  
> [mm]sin(x)^4[/mm] = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] cos(x) + [mm]a_2[/mm] cos(2x) + [mm]a_3[/mm] cos(3x) +
> [mm]a_4[/mm] cos(4x)
>  
> für alle x [mm]\in \IR[/mm] erfüllt ist.
>  
> mfg
>  Also ich hätte einfach mit den Additionstheoreme
> angefangen
>
> [mm]cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2[/mm]
>  [mm]cos(3x) = cos(x)^3 - 3cos(x) sin(x)^2[/mm]
>  
> [mm]cos(4x) = cos(x)^4 - 2 cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4 - 4 sin(x) cos(x)[/mm]

>

[mm]\cos\left(4x\right)=cos(x)^4 - 2 cos(x)^{\red{2}} sin(x)^{\red{2}} +sin(x)^4 - 4 sin(x)^{\red{2}} cos(x)^{\red{2}[/mm]
  

> Dies wiederum eingestz in meine Gleichung ergibt
>  
> [mm]sin(x)^4[/mm] = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] cos(x) + [mm]a_2 (cos(x)^2[/mm] - [mm]sin(x)^2)[/mm] +
> [mm]a_3 (cos(x)^3[/mm] - 3cos(x) [mm]sin(x)^2)[/mm] + [mm]a_4 (cos(x)^4[/mm] - 2
> [mm]cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4[/mm] - 4 sin(x) cos(x))
>  
>
> Jetzt weis ich nicht genau, wie ich weiter vorzugehen habe.
> Da in der Angabe nur "Zahlen" steht. Soll ich nun Werte
> einsetzen, damit die Gleichung stimmt?
>  
> Das wäre aber dann einfach, da ich einfach
>
> [mm]a_0[/mm] = [mm]sin(x)^4[/mm]
>  [mm]a_1=..=a_4[/mm] = 0
>  
> wähle stimmt die Gleichung
>  


Ersetze [mm]\sin\left(x\right)^{2}=1-\cos\left(x\right)^{2}[/mm]


> Danke euch
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Löse die Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 Fr 09.03.2012
Autor: Steffen2361


> Hallo steffen2361,
>  
> > Hi,
>  >  
> > Ich habe folgende Aufgabe:
>  >  
> > Man bestimme die Zahlen [mm]a_0,...,a_4,[/mm] sodass die Gleichung
>  >  
> > [mm]sin(x)^4[/mm] = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] cos(x) + [mm]a_2[/mm] cos(2x) + [mm]a_3[/mm] cos(3x) +
> > [mm]a_4[/mm] cos(4x)
>  >  
> > für alle x [mm]\in \IR[/mm] erfüllt ist.
>  >  
> > mfg
>  >  Also ich hätte einfach mit den Additionstheoreme
> > angefangen
> >
> > [mm]cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2[/mm]
>  >  [mm]cos(3x) = cos(x)^3 - 3cos(x) sin(x)^2[/mm]
>  
> >  

> > [mm]cos(4x) = cos(x)^4 - 2 cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4 - 4 sin(x) cos(x)[/mm]
>  
> >
>  
> [mm]\cos\left(4x\right)=cos(x)^4 - 2 cos(x)^{\red{2}} sin(x)^{\red{2}} +sin(x)^4 - 4 sin(x)^{\red{2}} cos(x)^{\red{2}[/mm]
>  

ach richtig....

>  
>
> > Dies wiederum eingestz in meine Gleichung ergibt
>  >  
> > [mm]sin(x)^4[/mm] = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] cos(x) + [mm]a_2 (cos(x)^2[/mm] - [mm]sin(x)^2)[/mm] +
> > [mm]a_3 (cos(x)^3[/mm] - 3cos(x) [mm]sin(x)^2)[/mm] + [mm]a_4 (cos(x)^4[/mm] - 2
> > [mm]cos(x)^4 sin(x)^4 +sin(x)^4[/mm] - 4 sin(x) cos(x))
>  >  
> >
> > Jetzt weis ich nicht genau, wie ich weiter vorzugehen habe.
> > Da in der Angabe nur "Zahlen" steht. Soll ich nun Werte
> > einsetzen, damit die Gleichung stimmt?
>  >  
> > Das wäre aber dann einfach, da ich einfach
> >
> > [mm]a_0[/mm] = [mm]sin(x)^4[/mm]
>  >  [mm]a_1=..=a_4[/mm] = 0
>  >  
> > wähle stimmt die Gleichung
>  >  
>
>
> Ersetze [mm]\sin\left(x\right)^{2}=1-\cos\left(x\right)^{2}[/mm]
>  

Gesagt getan:

[mm]cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2 = cos(x)^2 +1 - cos(x)^2) = 1 [/mm]

$ cos(3x) = [mm] cos(x)^3 [/mm] - 3cos(x) [mm] sin(x)^2 =cos(x)^3 [/mm] - 3cos(x) (1 - [mm] cos(x)^2) [/mm] = [mm] cos(x)^3 [/mm] - 3cos(x) + 3 [mm] cos(x)^3 [/mm] = -3cos(x) + [mm] 4cos(x)^3 [/mm] $


$ [mm] \cos\left(4x\right)=cos(x)^4 [/mm] - 2 [mm] cos(x)^{\red{2}} sin(x)^{\red{2}} +sin(x)^4 [/mm] - 4 [mm] sin(x)^{\red{2}} cos(x)^2 [/mm] = [mm] cos(x)^4 [/mm]  - [mm] 2cos(x)^2 +2cos(x)^4 [/mm] - [mm] 1-2cos(x)^2+cos(x)^4 [/mm] - [mm] 4cos(x)^2 [/mm]  + [mm] 4cos(x)^4 [/mm] = [mm] 8cos(x)^4 -8cos(x)^2 [/mm] - 1$

Nun wieder eingesetzt falls ich mich nicht wieder wo verrechnet habe:

1- [mm] cos(x)^2 [/mm] + [mm] cos(x)^4 [/mm] = [mm] a_0 +a_1 [/mm] cos(x) + [mm] a_2 [/mm] (1) [mm] +a_3 [/mm] (-3cos(x) + [mm] 4cos(x)^3) +a_4 (8cos(x)^4 -8cos(x)^2 [/mm] - 1)

Aber ich bekomme den Term von [mm] a_3 [/mm] nicht weg....

> > Danke euch
>  >  
>
>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
                        
Bezug
Löse die Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 Fr 09.03.2012
Autor: fencheltee

hallo,
cos(2x) ist doch nicht 1?!
da hast du einen vorzeichenfehler

gruß tee

Bezug
                                
Bezug
Löse die Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Sa 10.03.2012
Autor: Steffen2361


> hallo,
>  cos(2x) ist doch nicht 1?!
>  da hast du einen vorzeichenfehler
>  

ach richtig :)

$ cos(2x) = [mm] cos(x)^2 [/mm] - [mm] sin(x)^2 [/mm] = [mm] cos(x)^2 [/mm] +1 - [mm] cos(x)^2) [/mm] = [mm] 2cos(x)^2-1 [/mm] $

Zurück zur Formel

$1- $ [mm] cos(x)^2 [/mm] $ + $ [mm] cos(x)^4 [/mm] $ = [mm] a_0 +a_1 [/mm] $ cos(x) + $ [mm] a_2 [/mm] $ [mm] (2cos(x)^2-1) [/mm] $ [mm] +a_3 [/mm] $ (-3cos(x) + $ [mm] 4cos(x)^3) +a_4 (8cos(x)^4 -8cos(x)^2 [/mm] $ - 1)

So und für  

[mm] a_4 [/mm] = 1/8
[mm] a_0 [/mm] = 9/8

und [mm] a_1 =a_2 =a_3 [/mm] =0

Stimmt also, wenn mich jetzt nicht alles täuscht


Jetzt muss ich also noch zeigen, dass

[mm] sin(x)^2 [/mm] = 1 - [mm] cos(x)^2 [/mm]

Ich forme um

[mm] sin(x)^2 +cos(x)^2 [/mm] =1

Nun bilde ich die Funktion und leite ab

f'(x) = 2sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) =0

Somit gilt das Konstanzkriterium

f(x) = k für k [mm] \in \IR [/mm]

Somit ist wähle ich x= [mm] \pi/2 [/mm]

[mm] f(\pi/2) [/mm] = [mm] \underbrace{sin(\pi/2)^2}_{1} [/mm] + [mm] \underbrace{cos(\pi/2)^2}_{0} [/mm] =1

Was sagt ihr dazu?

danke euch :)

> gruß tee


Bezug
                                        
Bezug
Löse die Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:25 Sa 10.03.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Jetzt muss ich also noch zeigen, dass
>  
> [mm]sin(x)^2[/mm] = 1 - [mm]cos(x)^2[/mm]
>  
> Ich forme um
>  
> [mm]sin(x)^2 +cos(x)^2[/mm] =1

das mit der Ableitung etc. sollte auch funktionieren. Aber da steht doch eine altebekannte Formel:
Der trigonometrische Pythagoras.
Der heißt so, weil das einfach nur die Anwendung des Satzes des Pythagoras am Einheitskreis ist!
Wenn Du diese geometrische Tatsache aber nichtgeometrisch begründen willst, kann man das schon auch "analytisch" machen...

Gruß,
Marcel
  

> Nun bilde ich die Funktion

Welche denn? Sicher [mm] $f(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)\,,$ [/mm] $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm]

> und leite ab
>  
> f'(x) = 2sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) =0
>  
> Somit gilt das Konstanzkriterium
>  
> f(x) = k für

mit einem

> k [mm]\in \IR[/mm]
>  
> Somit ist wähle ich x= [mm]\pi/2[/mm]
>  
> [mm]f(\pi/2)[/mm] = [mm]\underbrace{sin(\pi/2)^2}_{1}[/mm] +
> [mm]\underbrace{cos(\pi/2)^2}_{0}[/mm] =1

Daraus folgt $f(x)=k=1$ für alle [mm] $x\,.$ [/mm]
  

> Was sagt ihr dazu?

Alles okay, soweit alles, was Du benutzt, auch benutzt werden darf:
   1.) Kettenregel (oder alternativ: Produktregel)
   2.) [mm] $\sin'=\cos$ [/mm]
   3.) [mm] $\cos'=-\sin$ [/mm]

> danke euch :)
>  > gruß tee

>  


Bezug
                                                
Bezug
Löse die Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Sa 10.03.2012
Autor: Steffen2361

Alles klar, danke :)

Bezug
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