Lösen durch Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | | Lösen Sie [mm] $y'=\frac{y}{x} [/mm] + [mm] \frac{y^2}{x^2}$ [/mm] durch eine Substitution |
Als Substitution habe ich [mm] $u=\frac{y}{x}$ [/mm] gewählt.
Abgeleitet ist dies
[mm] $u'=\frac{y'*x-y}{x^2}$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $y'=u'x+\frac{y}{x}$
[/mm]
Dort habe ich wieder das [mm] \frac{y}{x} [/mm] als u geschrieben. In die Ausgangsgleichung eingesetzt erhalte ich:
[mm] $u'x+u=u+u^2$
[/mm]
nach u' umgestellt ergibt das:
[mm] $u'=\frac{u^2}{x}$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $\integral{\frac{du}{dx}} [/mm] = [mm] \integral{\frac{u^2}{x}}$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $\integral{\frac{1}{u^2} du} [/mm] = [mm] \integral{\frac{1}{x} dx}$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $-\frac{1}{u} [/mm] = [mm] \ln{x} [/mm] + c$ [mm] \gdw $\frac{1}{u} [/mm] = - [mm] \ln{x} [/mm] - c$
Dann habe ich rücksubstituiert:
[mm] $\frac{x}{y} [/mm] = [mm] -\ln{x}-c$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $y=\frac{-x}{\ln{x}+c}$
[/mm]
das Ergebnis soll allerdings sein:
[mm] $y=\frac{x}{c-\ln{x}}$
[/mm]
Kann mir jemand sagen an welcher Stelle mein Fehler ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Do 08.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie [mm]y'=\frac{y}{x} + \frac{y^2}{x^2}[/mm] durch eine
> Substitution
>
> Als Substitution habe ich [mm]u=\frac{y}{x}[/mm] gewählt.
> Abgeleitet ist dies
>
> [mm]u'=\frac{y'*x-y}{x^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]y'=u'x+\frac{y}{x}[/mm]
>
> Dort habe ich wieder das [mm]\frac{y}{x}[/mm] als u geschrieben. In
> die Ausgangsgleichung eingesetzt erhalte ich:
>
> [mm]u'x+u=u+u^2[/mm]
>
> nach u' umgestellt ergibt das:
>
> [mm]u'=\frac{u^2}{x}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\integral{\frac{du}{dx}} = \integral{\frac{u^2}{x}}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\integral{\frac{1}{u^2} du} = \integral{\frac{1}{x} dx}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]-\frac{1}{u} = \ln{x} + c[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]\frac{1}{u} = - \ln{x} - c[/mm]
>
> Dann habe ich rücksubstituiert:
>
> [mm]\frac{x}{y} = -\ln{x}-c[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]y=\frac{-x}{\ln{x}+c}[/mm]
>
> das Ergebnis soll allerdings sein:
>
> [mm]y=\frac{x}{c-\ln{x}}[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen an welcher Stelle mein Fehler ist?
Du hast keinen Fehler gemacht !
[mm]y=\frac{-x}{\ln{x}+c}=\frac{x}{-\ln{x}-c}[/mm]. Da c eine Konstante ist, kannst Du statt -c auch c schreiben.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
$ [mm] y=\frac{-x}{\ln{x}+c}=\frac{x}{-\ln{x}-c} [/mm] $
Diese Zeile war mir bewusst.
Um diese dann mal fortzuführen:
$ [mm] y=[...]=\frac{x}{c-\ln{x}}$
[/mm]
Also ändert c sein Vorzeichen nicht, weil es eine Konstante ist. Habe ich das so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Do 08.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Morph007!
> [mm]y=\frac{-x}{\ln{x}+c}=\frac{x}{-\ln{x}-c}[/mm]
> Diese Zeile war mir bewusst.
>
> Um diese dann mal fortzuführen:
>
> [mm]y=[...]=\frac{x}{c-\ln{x}}[/mm]
>
> Also ändert c sein Vorzeichen nicht, weil es eine
> Konstante ist. Habe ich das so richtig verstanden?
[mm] $c\$ [/mm] ist eine Konstante. Solange der Nenner nicht Null ist kannst
du an Stelle von [mm] $c\$ [/mm] eine beliebige Konstante einsetzen. Wenn du
dann zur Kontrolle die Ableitung berechnest, wirst du feststellen,
dass die Konstante verschwindet. Aus diesem Grund macht es auch
keinen Unterschied was nun genau [mm] $c\$ [/mm] ist.
Gruß
DieAcht
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