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| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung
[mm] 1+\wurzel{7-3x}= -\bruch{2x-6}{\wurzel{7-x}}
[/mm]
für [mm] x\in \IR [/mm] |
Hallo.
Ich habe die Gleichung wie folgt gelöst und denke mal, dass ich einen Fehler gemacht habe.
[mm] 1+\wurzel{7-3x}= -\bruch{2x-6}{\wurzel{7-x}} |*\wurzel{7-x}
[/mm]
[mm] (1+\wurzel{7-3x}) [/mm] * [mm] \wurzel{7-3x}=(2x-6)(\wurzel{7-3x})
[/mm]
[mm] \wurzel{7-3x}+7-3x [/mm] = [mm] (2x-6)(\wurzel{7-3x}) [/mm] | [mm] ()^2
[/mm]
7-3x + [mm] (7x-3x)^2 [/mm] = [mm] (2x-6)^2 (\wurzel{7-3x})^2
[/mm]
7-3x + [mm] (7x-3)(7x-3)=(2x-6)^2 [/mm] * (7-3x) |:(7-3x)
1+ 7x -3 = [mm] (2x-6)^2 [/mm]
-2+7x= [mm] 4x^2-24x+36
[/mm]
[mm] 0=4x^2-31x-34 [/mm] | :4
[mm] 0=x^2-\bruch{31}{4}x-\bruch{34}{4}
[/mm]
[mm] (3.875)^2=(x-3.875)^2 |\wurzel
[/mm]
[mm] \pm3.875=x-3.875
[/mm]
[mm] \om3.875+3.875=x
[/mm]
Also wären die Lösungen in [mm] \IR [/mm] 0 und 7.75
Aber irgendwie kann das nicht richtig sein, wenn man sich die Gleichung anschaut.
Bin ich die Aufgabe einfach falsch angegangen? Ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Danke im Voraus.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Masseltof!
> [mm]1+\wurzel{7-3x}= -\bruch{2x-6}{\wurzel{7-x}} |*\wurzel{7-x}[/mm]
>
> [mm](1+\wurzel{7-3x})[/mm] * [mm]\wurzel{7-3x}=(2x-6)(\wurzel{7-3x})[/mm]
Links muss es hinter der Klammer [mm] $\wurzel{\red{7-x}}$ [/mm] lauten.
Und rechts steht dann auch nur $-(2x-6)_$ .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Loddar.
Ich hab leider den Nenner falsch eingetragen hier.
Es handelt sich um [mm] \wurzel{7-3x}.
[/mm]
Der Fehler lag wie du bereits sagtest beim Multiplizieren mit dem Nenner.
Danke vielmals.
Grüße :)
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Hallo.
Ich habe es eben nochmal probiert und meine Gleichung ist wieder falsch...
[mm] 1+\wurzel{7-3x}=- \bruch{2x-6}{\wurzel{7-3x}}
[/mm]
Durch Umformung erhalte ich:
[mm] \wurzel{7-3x}+7-3x=-2x-6 [/mm]
[mm] \wurzel{7-3x}=1x+1 |()^2
[/mm]
[mm] 7-3x=x^2+x+1
[/mm]
[mm] 0=x^2+4x-6
[/mm]
[mm] 0=x^2+4x+2-2-6
[/mm]
[mm] 8=(x+2)^2 |\wurzel
[/mm]
[mm] -2\pm\wurzel{8}=x
[/mm]
Irgendwie bin ich ratlos?
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Danke im Voraus.
Grüße
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \wurzel{7-3x}+7-3x=-2x\red+6 $
$\red{\wurzel{7-3x}=x-1$
Wenn man damit weiterrechnet kommt man auf:
$7-3x=x^2-2x+1$
$x^2+x-6=0$
PQ-Formel drauf gibt uns
$x=-3 \vee x=2
x=2 ist die Lösung der Gleichung.
Warum x=-3 keine Lösung ist, obwohl die PQ-Formel das als Ergebnis liefert, darfst du dir überlegen. ;)
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Hallo und danke für die Antwort.
Man da hab ich aber auf dem Schlauch gestanden.
Ich hatte total vergessen, dass - vor dem Bruch steht.
Jedenfalls danke ich dir für die Antwort.
Ich gehe mal davon aus, dass x=-3 nicht gültig ist, dass sonst unter der Wurzel ein negativer Ausdruck stehen würde und dies nicht im [mm] \IR [/mm] liegt.
Grüße
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und wieder das Minus vergessen. :P
unter der Wurzel steht 7-3x, mit x=-3 wäre das 7-(3*(-3))=7--9=7+9=16
das ist absolut zulässig und sogar eine schöne Quadratzahl.
Dennoch wird die Gleichung damit falsch.
Was ich aber eigendlich hören wollte ist, dass du quadriert hast.
quadrieren ist, aus gutem Grund, keine Äquivalenzumformung, denn es kann sein dass Lösungen dabei "dazukommen", wie in diesem Fall die -3.
Deshalb muss man, wenn man in einer Rechnung quadriert, immer die Lösungen in die Ursprungsgleichung einsetzen damit es passt.
(ebenso verliert man beim Wurzelziehen eine Lösung, wenn man nicht [mm] $\pm\sqrt{x}$ [/mm] schreibt)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke.
Och Mensch heute mache ich solche Leichtsinnsfehler. Einfach nicht mein Tag.
Danke für die Antworten.
Grüße
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