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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Lösen einer Gleichung
Lösen einer Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösen einer Gleichung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Mi 14.11.2012
Autor: Traumfabrik

Aufgabe
Bestimmen Sie sämtliche Lösungen folgender Gleichung:
z x z*+(-2+3i) x z + (-2-3i) x z +12 = 0

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Habe zur Lösung alles ausmultipliziert und dann fallen die ai und bi terme raus.

Wenn ich danach quadratisch ergänze bekomme ich :

[mm] (a-2)^2+(b-3)^2 [/mm] = 1

Meine Frage lautet ob diese Lösung stimmt und ob man sie nicht auch eleganter aus der Aufgabenstellung bekommen kann ?

        
Bezug
Lösen einer Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 Mi 14.11.2012
Autor: reverend

Hallo Traumfabrik,

> Bestimmen Sie sämtliche Lösungen folgender Gleichung:
>  z x z*+(-2+3i) x z + (-2-3i) x z +12 = 0

Das ist schlecht zu lesen. Verwende doch bitte den Formeleditor:
[mm] z*z^{\star}+(-2+3i)*z+(-2-3i)*z+12=0 [/mm]

> Habe zur Lösung alles ausmultipliziert und dann fallen die
> ai und bi terme raus.

Sicher?

> Wenn ich danach quadratisch ergänze bekomme ich :
>
> [mm](a-2)^2+(b-3)^2[/mm] = 1
>  
> Meine Frage lautet ob diese Lösung stimmt und ob man sie
> nicht auch eleganter aus der Aufgabenstellung bekommen kann ?

Einfach ausklammern und Betrag anwenden:
[mm] |z|^2+(-2+3i-2-3i)z+12=a^2+b^2-4a-4bi+12=0 [/mm]

...und da ist dann doch ein i geblieben...

Es stellt sich heraus, dass es keine Lösung gibt.
Ist die Aufgabe richtig abgeschrieben?

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Lösen einer Gleichung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Mi 14.11.2012
Autor: Traumfabrik

Hallo, danke für die Hilfe, mir ist, wie vermutet,  ein Fehler beim eintippen unterlaufen.

Die Gleichung lautet richtig
z [mm] \cdot [/mm] z* +(-2+3i) [mm] \cdot [/mm] z + (-2-3i) [mm] \cdot [/mm] z* +12 = 0

Bezug
                        
Bezug
Lösen einer Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Mi 14.11.2012
Autor: M.Rex

Hallo


> Hallo, danke für die Hilfe, mir ist, wie vermutet,  ein
> Fehler beim eintippen unterlaufen.
>  
> Die Gleichung lautet richtig
>  z [mm]\cdot[/mm] z* +(-2+3i) [mm]\cdot[/mm] z + (-2-3i) [mm]\cdot[/mm] z* +12 = 0

Dann versuche doch mal, reverends Antwort auf deine Frage umzusetzen.

$ [mm] z\cdot{}z^{\star}+(-2+3i)\cdot{}z+(-2-3i)\cdot{}z^{\star}+12=0 [/mm] $

Mit $z=a+ib$ und [mm] $z^{\star}=a-ib$ [/mm]

$ [mm] (a+ib)\cdot{}(a-ib)+(-2+3i)\cdot{}(a+ib)+(-2-3i)\cdot{}(a-ib)+12=0 [/mm] $

Den Rest versuche nun wieder selber.

Marius



Bezug
                                
Bezug
Lösen einer Gleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Mi 14.11.2012
Autor: Traumfabrik

Wenn ich es wie beschrieben ausmultipliziere erhalte ich bei mir:

[mm] a^2+b^2-2a-2bi+3ai-3b-2a+2bi-3ai-3b+12=0 [/mm]

Wenn ich jetzt kürze komme ich auf die eingangs von mir genannte Lösung ?

Bezug
                                        
Bezug
Lösen einer Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Mi 14.11.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Traumfabrik,


> Wenn ich es wie beschrieben ausmultipliziere erhalte ich
> bei mir:
>  
> [mm]a^2+b^2-2a-2bi+3ai-3b-2a+2bi-3ai-3b+12=0[/mm]
>  
> Wenn ich jetzt kürze komme ich auf die eingangs von mir
> genannte Lösung ? [ok]

Ja, die stimmt auch, die i-Terme heben sich weg

Wie interpretierst du denn die gefundene Lösungsmenge geometrisch?

Das ist auch interessant ..

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Lösen einer Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:30 Mi 14.11.2012
Autor: Traumfabrik

quadratisch ergänzt dachte ich:

Kreis mit Mittelpunkt 2/3 und radius 1

Bezug
                                                        
Bezug
Lösen einer Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Mi 14.11.2012
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> quadratisch ergänzt dachte ich:
>  
> Kreis mit Mittelpunkt 2/3 und radius 1

Jo, bzw. komplex betrachtet mit Mittelpunkt [mm] $z_M=2+3i$ [/mm]

Gruß

schachuzipus


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