Lösen eines Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lösen Sie das Anfansgwertproblem [mm] y'=xy/(1-x^2) [/mm] mit y(0)=1. |
wenn ich diese Aufgabe integriere bekomme ich [mm] \ln(y)=-\ln(x^2-1)/2+C [/mm] heraus...das nach y aufgelöst ergibt [mm] y=e^c/\wurzel(x^2-1) [/mm] ..wenn ich aber nun den Anfangswert einsetzte habe ich ja eine negative Zahl in der Wurzel...ab da besteht dann mein Problem...oder ist vorne schon ein Fehler gemacht worden?....wäre für eine hilfestellung sehr dankbar...mfg alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo sandrihho!
Du hast einen Dreher eingebaut. Nach dem Integrieren muss es heißen:
[mm] $\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*\ln\left(\red{1-x^2}\right)+C$
[/mm]
Ganz streng genommen muss es auch heißen:
[mm] $\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*\ln\red{\left|}1-x^2\red{\right|}+C$
[/mm]
Damit ist Dein "Vorzeichenproblem" wegen negativer Wurzel auch keines mehr ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mi 30.08.2006 | | Autor: | setine |
Hallo Zusammen,
Hab eine kleine Frage dazu, und zwar:
Um das Integral [mm] $\integral{\bruch{x}{1-x^2} dx}$ [/mm] zu lösen sehe ich eigentlich 2 Möglichkeiten.
1) Einerseits das Raten und dann testen,
2) andererseits die Partialbruchzerlegung welches aber dann wieder zum Erraten zweier (zwar etwas einfacheren) Integralen führt.
Gib es da eine andere Möglichkeit als das Erraten der Integrale?
Danke,
Setine
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Hallo
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> Hab eine kleine Frage dazu, und zwar:
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> Um das Integral [mm]\integral{\bruch{x}{1-x^2} dx}[/mm] zu lösen
das kannst du auch ohne raten lösen mit einem kleinen Trick
[mm] \integral{\bruch{x}{1-x^2} dx} [/mm] du formst so um das im Zähler die Ableitung vom Nenner steht dann steht da [mm] \bruch{y' }{y} [/mm] und das Integral davon ist der ln
[mm] \integral{\bruch{2}{2}*\bruch{x}{1-x^2} dx}=\bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{\bruch{2x}{1-x^2} dx}=\bruch{-ln|x^{2}-1|}{2}
[/mm]
lg Stevo
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