Lösen eines Gleichungssystems < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Fr 02.09.2016 | | Autor: | japiyapu |
| Aufgabe | Rekonstruieren/Steckbriefaufgabe: Gesucht ist jeweils eine ganzrationale Funktion mit den folgenden Eigenschaften.
Der Graph hat bei 5 einen Hochpunkt. Der Punkt (1,1) liegt auf dem Graphen. Der Graph hat an der Stelle x=3 einen Wendepunkt. |
Zum 'Spaß' habe ich dem Punkt (1,1) die zusätzliche Eigenschaft eines Tiefpunktes gegeben. Nun habe ich eine Skizze angefertigt und bin zu dem Schluss gekommen, dass ich eine Funktion 3.Grades suche: [mm] ax^3+bx^2+cx+d. [/mm] Die 4 Gleichungen lauten dann: (f(1)) a+b+c+d=1 ; (f'(1)) 3a+2b+c=0 ; (f'(5)) 75a+10b+c=0 ; (f''(3)) 18a+2b=0. Ich habe dieses Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst und habe folgende Werte erhalten: a=1/7 ; b=-9/7 ; c=15/7 ; d=0 also die Funktion [mm] f(x)=(1/7)x^3-(9/7)x^2+(15/7)x. [/mm] Der Graph dieser Funktion erfüllt alle Eigenschaften, aber der Punkt (1,1) ist ein Hochpunkt, während bei x:5 ein Tiefpunkt ist. Was müsste ich geändert haben um eine Funktion zu bekommen bei der der Punkt (1,1) ein Tiefpunkt ist und der bei x:5 ein Hochpunkt?
Ich habe die Vorezeichen geändert: [mm] f(x)=-(1/7)x^3+(9/7)x^2-(15/7)x. [/mm] Bei dieser Funktion ist bei x:5 ein Hochpunkt, allerdings ist der Tiefpunkt bei (1,-1). Wie kann man die Funktion so ändern, dass der Tiefpunkt bei (1,1) ist?
Zusätzlich habe ich das Gleichungssystem 'normal' gelöst. So dass am Ende folgende Funktion rauskam: [mm] f(x)=(1/15)x^3-(9/15)x^2+x+(8/15). [/mm] Bei dieser Funktion war jedoch (1,1) wieder ein Hochpunkt und bei x:5 ein Tiefpunkt. Nach Tauschen der Vorzeichen: [mm] f(x)=-(1/15)x^3+(9/15)x^2-x+(8/15) [/mm] war bei x:5 ein Hochpunkt, der Tiefpunkt allerdings bei (1,0). Dieses Gleichungssystem habe ich ohne Systematik gelöst, deswegen meine Frage: Welche Systematik muss man bei solch einem Gleichungssystem anwenden? Zweitens, kann ich auch die Funktion rausbekommen, die ich mit dem Gauß-Verfahren rausbekommen habe? Und wenn ja, wie?
Vielen Dank für eine Antwort (bzw. Antworten)!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Rekonstruieren/Steckbriefaufgabe: Gesucht ist jeweils eine
> ganzrationale Funktion mit den folgenden Eigenschaften.
> Der Graph hat bei 5 einen Hochpunkt. Der Punkt (1,1) liegt
> auf dem Graphen. Der Graph hat an der Stelle x=3 einen
> Wendepunkt.
> Zum 'Spaß' habe ich dem Punkt (1,1) die zusätzliche
> Eigenschaft eines Tiefpunktes gegeben. Nun habe ich eine
> Skizze angefertigt und bin zu dem Schluss gekommen, dass
> ich eine Funktion 3.Grades suche: [mm]ax^3+bx^2+cx+d.[/mm] Die 4
> Gleichungen lauten dann: (f(1)) a+b+c+d=1 ; (f'(1))
> 3a+2b+c=0 ; (f'(5)) 75a+10b+c=0 ; (f''(3)) 18a+2b=0. Ich
> habe dieses Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren
> gelöst und habe folgende Werte erhalten: a=1/7 ; b=-9/7 ;
> c=15/7 ; d=0 also die Funktion
> [mm]f(x)=(1/7)x^3-(9/7)x^2+(15/7)x.[/mm] Der Graph dieser Funktion
> erfüllt alle Eigenschaften, aber der Punkt (1,1) ist ein
> Hochpunkt, während bei x:5 ein Tiefpunkt ist. Was müsste
> ich geändert haben um eine Funktion zu bekommen bei der
> der Punkt (1,1) ein Tiefpunkt ist und der bei x:5 ein
> Hochpunkt?
>
> Ich habe die Vorezeichen geändert:
> [mm]f(x)=-(1/7)x^3+(9/7)x^2-(15/7)x.[/mm] Bei dieser Funktion ist
> bei x:5 ein Hochpunkt, allerdings ist der Tiefpunkt bei
> (1,-1). Wie kann man die Funktion so ändern, dass der
> Tiefpunkt bei (1,1) ist?
>
> Zusätzlich habe ich das Gleichungssystem 'normal' gelöst.
> So dass am Ende folgende Funktion rauskam:
> [mm]f(x)=(1/15)x^3-(9/15)x^2+x+(8/15).[/mm] Bei dieser Funktion war
> jedoch (1,1) wieder ein Hochpunkt und bei x:5 ein
> Tiefpunkt. Nach Tauschen der Vorzeichen:
> [mm]f(x)=-(1/15)x^3+(9/15)x^2-x+(8/15)[/mm] war bei x:5 ein
> Hochpunkt, der Tiefpunkt allerdings bei (1,0). Dieses
> Gleichungssystem habe ich ohne Systematik gelöst, deswegen
> meine Frage: Welche Systematik muss man bei solch einem
> Gleichungssystem anwenden? Zweitens, kann ich auch die
> Funktion rausbekommen, die ich mit dem Gauß-Verfahren
> rausbekommen habe? Und wenn ja, wie?
>
> Vielen Dank für eine Antwort (bzw. Antworten)!
Hallo japiyapu
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
mir scheint, dass du einfach das Gleichungssystem nicht korrekt
gelöst hast. Wie bist du z.B. auf d=0 gekommen ?
Ferner möchte ich bemerken: Falls du etwa an der Stelle x=5
wirklich einen Hochpunkt (und nicht etwa einen Tiefpunkt)
haben möchtest, so müsstest du nicht nur f'(5)=0 verlangen,
sondern auch noch f''(5)<0 oder wenigstens f''(5)≤0 .
Weiter könnte man bei einer Funktion 3. Grades noch sagen:
falls an den Stellen x=1 und x=5 Extremalstellen liegen, so
liegt in der Mitte dazwischen, also bei x=3 , automatisch ein
Wendepunkt.
LG , Al-Chwarizmi
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Sa 03.09.2016 | | Autor: | japiyapu |
Also, meinst du/meinen Sie, dass ich die Information 'x:3 Wendepunkt' nicht brauche, wenn ich x:1 und x:5 als Extremalstellen habe und stattdessen dann f''(5)>0 bzw. f''(5)≤0 als Information hinzufügen soll?
Zu d=0: Also ich habe das Gleichungssystem zuerst selber mit dem Gauß-Verfahren gelöst und später mit einem Rechner, und beide male war d=0. Da ich ja die folgenden Gleichungen hatte: a+b+c+d=1 ;
3a+2b+c=0 ; 75a+10b+c=0 ; 18a+2b=0 habe ich als Koeffizientenmatrix folgendes in den Rechner eingegeben:
1 1 1 1 1
75 10 1 0 0
3 2 1 0 0
18 2 0 0 0
Ist da was falsch dran?
Es kam zumindest d=0 raus.
Der Rechner, den ich benutzt habe, befindet sich hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
Aber es stimmt, dass als ich das System 'normal' gelöst habe, d nicht gleich 0 war. Allerdings empfand ich es mehr als Zufall, dass ich das System gelöst habe, deswegen wäre meine Frage auch mit welcher Systematik man vorgehen muss/Sie vorgegangen sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Sa 03.09.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also, meinst du/meinen Sie,
Duzen ist hier vollkommen OK.
> dass ich die Information 'x:3
> Wendepunkt' nicht brauche, wenn ich x:1 und x:5 als
> Extremalstellen habe und stattdessen dann f''(5)>0 bzw.
> f''(5)≤0 als Information hinzufügen soll?
Das nicht, x=3 als Wendestelle führt zu f''(3)=0, mit den Ungleichungen übver die hinreichenden Kriterien der Extremstellen kannst du hier wenig anfangen.
>
> Zu d=0: Also ich habe das Gleichungssystem zuerst selber
> mit dem Gauß-Verfahren gelöst und später mit einem
> Rechner, und beide male war d=0. Da ich ja die folgenden
> Gleichungen hatte: a+b+c+d=1 ;
> 3a+2b+c=0 ; 75a+10b+c=0 ; 18a+2b=0 habe ich als
> Koeffizientenmatrix folgendes in den Rechner eingegeben:
> 1 1 1 1 1
> 75 10 1 0 0
> 3 2 1 0 0
> 18 2 0 0 0
> Ist da was falsch dran?
> Es kam zumindest d=0 raus.
> Der Rechner, den ich benutzt habe, befindet sich hier:
> http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
>
> Aber es stimmt, dass als ich das System 'normal' gelöst
> habe, d nicht gleich 0 war. Allerdings empfand ich es mehr
> als Zufall, dass ich das System gelöst habe, deswegen
> wäre meine Frage auch mit welcher Systematik man vorgehen
> muss/Sie vorgegangen sind?
Das übliche Verfahren, diese linearen Gleichungssysteme zu lösen, ist in der Tat der Gauß-Algorithmus.
Du bekommst ja folgende Bedingungen an die Funktion [mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d [/mm] mit den Ableitungen [mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx+c [/mm] und f''(x)=6ax+2b:
Aus "Der Graph hat bei 5 einen Hochpunkt" folgt f'(5)=0, also die Gleichung [mm] 3a\cdot^{2}+2b\cdot5+c=0, [/mm] vereinfacht dann 75a+10b+c=0
Aus "Der Punkt (1,1) liegt auf dem Graphen" folgt f(1)=1, also a+b+c+d=1.
Aus "der Punkt P(1|1) ist ein Tiefpunkt folgt f'(1)=0, also 3a+2b+c=0
Und final folt aus "Der Graph hat an der Stelle x=3 einen Wendepunkt" dann f''(3)=0, also 18a+2b=0, das zu 9a+b=0 vereinfacht werden kann.
Das fürht zu folgendem LGS:
[mm]\begin{vmatrix}a+b+c+d=1\\75a+10b+c=0\\3a+2b+c=0\\9a+b=0\end{vmatrix}[/mm]
Hier würde ich dann sogar die Reihenfolge der Variablen tauschen, dann musst du nur ein paar ganz wenige Schritte des Gauß-Verfahrens nachen, also
[mm] \begin{vmatrix}d+c+b+a=1\\c+10b+75a=0\\c+2b+3a=0\\b+9a=0\end{vmatrix}
[/mm]
[mm] \stackrel{II-III}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}d+c+b+a=1\\c+10b+75a=0\\8b+72a=0\\b+9a=0\end{vmatrix}
[/mm]
[mm] \stackrel{II:8}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}d+c+b+a=1\\c+10b+75a=0\\b+9a=0\\b+9a=0\end{vmatrix}
[/mm]
Nun hast du in der Tat einen Sonderfall, dass zwei Gleichungen komplett identisch sind, daher hast du keine eindeutige Lösung.
Marius
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