Lösen eines Gleichungssystems < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Do 01.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Löse das Gleichungssystem
[mm] x^2+y^2-u^2-v^2=0
[/mm]
[mm] x^2+2y^2+3u^2+4v^2=1
[/mm]
durch die Funktionen u(x,y) und v(x,y) |
Hi Leute!
ich bin gerade auf dieses Beispiel gestoßen, dass mir leider keine "Angriffsfläche" bietet, da wir das nicht in der Vorlesung behandelt haben und es auch im Skriptum nicht behandelt wird...
Vielleicht kann mir jemand exemplarisch ein Beispiel zeigen, von diesen Aufgaben habe ich mehrere auf meinem Angabeblatt...
lg
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chris!
Ich verstehe das so, dass $u \ = \ u(x,y)$ und $v \ = \ v(x,y)$ Deine gesuchten Variablen sind und $x_$ und $y_$ wie Parameter zu behandeln sind.
Multipliziere die 1. gleichung mit 3 und addiere diese dann mit der 2. Gleichung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Do 01.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | x+y-sin(z)=0
[mm] e^z-x-y^3=1
[/mm]
Bestimmen Sie um x=0 y(x) und z(x) (y(0)=0 und z(0)=0) die durch die obigen Gleichungen definiert werden. |
Ok, wenn ich rechne wie mit "normalen" Variablen komme ich auf
[mm] v(x,y)=\wurzel{1-5y^2-4x^2}
[/mm]
[mm] u(x,y)=\wurzel{5x^2+6y^2-1}
[/mm]
leider geht das im nächsten Beispiel schon nicht mehr :(
Wie ist hier vorzugehen?
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Hallo chrisi99,
> x+y-sin(z)=0
> [mm]e^z-x-y^3=1[/mm]
>
> Bestimmen Sie um x=0 y(x) und z(x) (y(0)=0 und z(0)=0) die
> durch die obigen Gleichungen definiert werden.
> Ok, wenn ich rechne wie mit "normalen" Variablen komme ich
> auf
>
> [mm]v(x,y)=\wurzel{1-5y^2-4x^2}[/mm]
> [mm]u(x,y)=\wurzel{5x^2+6y^2-1}[/mm]
>
> leider geht das im nächsten Beispiel schon nicht mehr :(
>
> Wie ist hier vorzugehen?
Hier geht das nach dem vereinfachten Newtonverfahren:
[mm]\pmat{y_{k+1}\left(x\right) \\ z_{k+1}\left(x\right)}=\pmat{y_{k}\left(x\right) \\ z_{k}\left(x\right)}-A^{-1}*F\left(x,y_{k}\left(x\right),z_{k}\left(x\right))[/mm]
mit [mm]F\left(x,y,z\right)=\pmat{f_{1}\left(x,y,z\right) \\ f_{2}\left(x,y,z\right)}=\pmat{x+y-\sin\left(z\right) \\ e^{z}-x-y^{3}-1}[/mm]
und [mm]A=\pmat{\bruch{\partial f_{1}}{\partial y} & \bruch{\partial f_{1}}{\partial z} \\ \bruch{\partial f_{2}}{\partial y} & \bruch{\partial f_{2}}{\partial z}}\left(x_{0},y_{0}, z_{0}\right)[/mm]
sowie
[mm]\pmat{y_{0}\left(x\right) \\ z_{0}\left(x\right)}=\pmat{y_{0} \\ z_{0}}= \pmat{y\left(0\right) \\ z\left(0\right)}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Do 01.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
das sieht sehr elegant aus! Hast du dazu vlt noch eine Literatur, das hilft mir beim Verständnis sicher weiter :)
danke schon mal!
lg
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Hallo chrisi99,
> das sieht sehr elegant aus! Hast du dazu vlt noch eine
> Literatur, das hilft mir beim Verständnis sicher weiter :)
Leider nicht.
Ich hab das auch nur im Studium gehabt.
Das lief dort unter "Implizite Funktionen und inverse Abbildungen im [mm]\IR^{n}[/mm]".
>
> danke schon mal!
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 So 04.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
leider habe ich es noch nicht ganz gegneißt (und auch nicht wirklich was im Skriptum entdecken können...)
also ich berechne A durch die partiellen Ableitungen:
[mm] \pmat{ 1 & -cos(z) \\ -3y^2 & e^z }
[/mm]
und invertiere diese 2x2 Matrix dann nach bekanntem Muster:
[mm] A'=\bruch{1}{e^z-cos(z)3y^2}\pmat{ e^z & cos(z) \\ 3y^2 & 1 }
[/mm]
(ich hoffe, das stimmt jetzt so weit..)
nur wie komme ich jetzt auf die gesuchten Funktionen y(x) und z(x), von denen ich ja nur weiß, dass sie in x=0 beide 0 sind also y(0)=z(0)=0
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Hallo chrissi99,
> leider habe ich es noch nicht ganz gegneißt (und auch nicht
> wirklich was im Skriptum entdecken können...)
>
> also ich berechne A durch die partiellen Ableitungen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -cos(z) \\ -3y^2 & e^z }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und invertiere diese 2x2 Matrix dann nach bekanntem
> Muster:
>
> [mm]A'=\bruch{1}{e^z-cos(z)3y^2}\pmat{ e^z & cos(z) \\ 3y^2 & 1 }[/mm]
>
> (ich hoffe, das stimmt jetzt so weit..)
>
> nur wie komme ich jetzt auf die gesuchten Funktionen y(x)
> und z(x), von denen ich ja nur weiß, dass sie in x=0 beide
> 0 sind also y(0)=z(0)=0
>
>
>
Die Matrix A ist an der Stelle [mm]x_{0}=y_{0}=z_{0}=0[/mm] zu betrachten:
[mm]A=\pmat{ 1 & -cos(z_{0}) \\ -3y_{0}^2 & e^{z_{0}} }=\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }[/mm]
[mm]\Rightarrow A^{-1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1}[/mm]
Dann ergibt sich
[mm]\pmat{y_{k+1}\left(x\right) \\ z_{k+1}\left(x\right)}=\pmat{y_{k}\left(x\right) \\ z_{k}\left(x\right)}-\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1}\pmat{x+y_{k}\left(x\right)-\sin\left(z_{k}\left(x\right)\right) \\ e^{z_{k}\left(x\right)}-x-\left(y_{k}\left(x\right)\right)^{3}-1}[/mm]
mit
[mm]\pmat{y_{0}\left(x\right) \\ z_{0}\left(x\right)}=\pmat{y\left(0\right) \\ z\left(0\right)}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 04.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke für deine großartige Hilfe!
jetzt stellt sich mir nur die Frage (da ich das Verfahren ja nicht wirklich kenne), ob ich dadurch die Funktion darstelle. Ich kenne das "Newton Verfahren" nur als Verfahren zum Aufsuchen von Näherungslösungen...
die Lösung lautet dann
y(x)=-(f1+f2)
und z(x)= -f2
sehe ich das richtig?
nochmals herzlichen Dank! :)
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die Lösung lautet dann
y(x)=-(f1+f2)
und z(x)= -f2
sehe ich das richtig? --- Ja
Genau so ist es!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 04.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
aber erhalte ich dadurch nicht
[mm] y_{1}(x)=-(f_{1}(x_{0},y_{0},z_{0}+f_{2}(...))
[/mm]
[mm] z_{1}(x)=...
[/mm]
(sprich die Auswertung des n-ten Schritts ergibt die n+1-te Näherung - erinnert mich an Banach FPS jedoch hatten wir den nur in Analysis einer veränderlicher)
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Hallo chrissi99,
> aber erhalte ich dadurch nicht
>
> [mm]y_{1}(x)=-(f_{1}(x_{0},y_{0},z_{0}+f_{2}(...))[/mm]
> [mm]z_{1}(x)=...[/mm]
Korrekt muss es heissen:
[mm]y_{1}(x)=-\left(f_{1}\left(x,y_{0},z_{0}\right)+f_{2}\left(x,y_{0},z_{0}\right)\right)[/mm]
[mm]z_{1}\left(x\right)=-f_{2}\left(x,y_{0},z_{0}\right)[/mm]
>
> (sprich die Auswertung des n-ten Schritts ergibt die n+1-te
> Näherung - erinnert mich an Banach FPS jedoch hatten wir
> den nur in Analysis einer veränderlicher)
Der Banachsche Fixpunktsatz wird auch hier verwendet.
Gruß
MathePower
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Hallo chrissi99,
> danke für deine großartige Hilfe!
>
> jetzt stellt sich mir nur die Frage (da ich das Verfahren
> ja nicht wirklich kenne), ob ich dadurch die Funktion
> darstelle. Ich kenne das "Newton Verfahren" nur als
> Verfahren zum Aufsuchen von Näherungslösungen...
Wenn Du so willst ist es das auch, nur dass die Näherunglösungen von x abhängen.
Genau genommen ist es ein vereinfachtes Newton-Verfahren, bei dem die Matrix A konstant ist.
>
> die Lösung lautet dann
>
> y(x)=-(f1+f2)
> und z(x)= -f2
>
> sehe ich das richtig?
Korrekterweise lauten die Lösungen nach dem 1. Schritt:
[mm]y_{1}\left(x\right)=-\left(f1\left(x,0,0\right)+f2\left(x,0,0\right)\right)[/mm]
[mm]z_{1}\left(x\right)=-f2\left(x,0,0\right)[/mm]
>
> nochmals herzlichen Dank! :)
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 So 04.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
wenn diese Näherung nach Newton funktioniert kann man aber davon ausgehen, dass die Funktion dort angenähert werden kann, oder? Ohne jetzt genauere Aussagen über die Funktion zu treffen...
es soll nämlich noch untersucht werden, ob die Funktionen bei x=0 ein lokales Extrema besitzt. Jetzt weiß ich nicht, ob ich da mit den gefundenen Funktionen rechnen darf!?
lg
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Hallo chrissi99,
> wenn diese Näherung nach Newton funktioniert kann man aber
> davon ausgehen, dass die Funktion dort angenähert werden
> kann, oder? Ohne jetzt genauere Aussagen über die Funktion
> zu treffen...
In der Tat ist es so, daß diese Funktion in der Nähe des Startpunktes durch ihre Tangentialebene ersetzt wird.
>
> es soll nämlich noch untersucht werden, ob die Funktionen
> bei x=0 ein lokales Extrema besitzt. Jetzt weiß ich nicht,
> ob ich da mit den gefundenen Funktionen rechnen darf!?
Die Funktionen [mm]y\left(x\right), \ z\left(x\right)[/mm]?
Oder die Funktionen [mm]f_{1}\left(x,y,z\right), \ f_{2}\left(x,y,z\right)[/mm]?
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 04.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
wenn ich den Text richtig interpretiere die Funktionen y(x) und z(x)!
das würde für mich bedeuten ableiten (nach x) und 0 setzen...?
lg
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Hallo chrissi99,
> wenn ich den Text richtig interpretiere die Funktionen y(x)
> und z(x)!
>
> das würde für mich bedeuten ableiten (nach x) und 0
> setzen...?
Wenn dem so ist, dann machen wir das anders.
Und zwar durch ![[]](/images/popup.gif) implizites Differenzieren.
Dann erhältst Du hier ein Gleichungssystem für y' und z' an der Stelle x=0.
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 So 04.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
hm, jetzt stehe ich auf dem Schlauch, wo soll ich implizit differenzieren?
ich habe ja zwei funktionen y(x) und z(x)(Genauer [mm] y_{1}(x) [/mm] und [mm] z_{1}(x) [/mm] )
diese hängen von x ab, aber doch bereits explizit? Oder habe ich das falsch aufgefasst? Oder meinst du diese jetzt einsetzen in die Funktion und dann implizit ableiten?
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Hallo chrisi99,
> hm, jetzt stehe ich auf dem Schlauch, wo soll ich implizit
> differenzieren?
Genau.
Zur Ermittlung des Ableitungswertes von y' bzw. z' an der Stelle 0 wird impliziert differenziert.
>
> ich habe ja zwei funktionen y(x) und z(x)(Genauer [mm]y_{1}(x)[/mm]
> und [mm]z_{1}(x)[/mm] )
Und zwei Funktionen [mm]f_{1}\left(x,y,z\right)[/mm] und [mm]f_{2}\left(x,y,z\right)[/mm]
>
> diese hängen von x ab, aber doch bereits explizit? Oder
> habe ich das falsch aufgefasst? Oder meinst du diese jetzt
> einsetzen in die Funktion und dann implizit ableiten?
Lass mal die Näherungslösungen beiseite
[mm]f_{1}\left(x,y\left(x\right),z\left(x\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow {f_{1}}_{x}+{f_{1}}_{y}*y'+{f_{1}}_{z}*z'=0[/mm]
[mm]f_{2}\left(x,y\left(x\right),z\left(x\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow {f_{2}}_{x}+{f_{2}}_{y}*y'+{f_{2}}_{z}*z'=0[/mm]
Das ganze ist. wie schon erwähnt an der Stelle [mm]x=y=z=0[/mm] zu sehen.
Dann ergibt das ein Gleichungssystem:
[mm]\pmat{{f_{1}}_{x} & {f_{1}}_{y} \\ {f_{2}}_{x} & {f_{2}}_{y}} \pmat{y' \\ z'}= - \pmat{{f_{1}}_{x} \\ {f_{2}}_{x}}[/mm]
Daraus folgen nun [mm]y'\left(0\right)[/mm] und [mm]z'\left(0\right)[/mm].
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 So 04.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
ah, so meinst du das!
So ist es natürlich klar!
jetzt frage ich mich nur noch, wie ich die Funktionen y(x) und z(x) angeben kann, wenn ich diesen Lösungsweg (vereinfachten Newton) verwende!
darf ich einfach schreiben, dass aus [mm] y_{k+1}(x) [/mm] sozusagen [mm] y_{1}(x) [/mm] und daraus y(x) folgt?
und wie schreibe ich die Funktionen [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] dann am elegantesten an?
[mm] f_{1}=x+y_{0}(x)-sin(z_{0}(x)) [/mm] ?
[mm] f_{1}=x+y(0)-sin(z(0)) [/mm]
[mm] f_{1}=x+y_{0}-sin(z_{0})-> f_{1}=x+0-0 [/mm] ?
[mm] f_{2}=e^{z_{0}} [/mm] -x [mm] -(y_{0})^3 [/mm] -1
oder darf ich das überhaupt so anschreiben? wäre dann nicht [mm] y_{1}(x) [/mm] = 0 für alle x? (-> [mm] y_{1}(x)=-(f_{1}(x,0,0)+f_{2}(x,0,0)=-(x+1-x-1) [/mm] )
ich fürchte ich habs noch nicht so ganz durchschaut ;)
aber deine Hilfe hat mich schon ein gewaltiges Stück näher gebracht! Danke dir!
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Hallo chrisi99,
> ah, so meinst du das!
>
> So ist es natürlich klar!
>
> jetzt frage ich mich nur noch, wie ich die Funktionen y(x)
> und z(x) angeben kann, wenn ich diesen Lösungsweg
> (vereinfachten Newton) verwende!
>
> darf ich einfach schreiben, dass aus [mm]y_{k+1}(x)[/mm] sozusagen
> [mm]y_{1}(x)[/mm] und daraus y(x) folgt?
Genauer: [mm]y\left(x\right)=\limes_{k\rightarrow\infty}{y_{k}\left(x\right)}[/mm]
>
> und wie schreibe ich die Funktionen [mm]f_{1}[/mm] und [mm]f_{2}[/mm] dann am
> elegantesten an?
>
> [mm]f_{1}=x+y_{0}(x)-sin(z_{0}(x))[/mm] ?
>
> [mm]f_{1}=x+y(0)-sin(z(0))[/mm]
> [mm]f_{1}=x+y_{0}-sin(z_{0})-> f_{1}=x+0-0[/mm] ?
>
> [mm]f_{2}=e^{z_{0}}[/mm] -x [mm]-(y_{0})^3[/mm] -1
>
> oder darf ich das überhaupt so anschreiben? wäre dann nicht
> [mm]y_{1}(x)[/mm] = 0 für alle x? (->
> [mm]y_{1}(x)=-(f_{1}(x,0,0)+f_{2}(x,0,0)=-(x+1-x-1)[/mm] )
Lass die Funktion so wie sind:
[mm]f_{1}\left(x,y,z\right)=x+y-\sin\left(z\right)[/mm]
[mm]f_{2}\left(x,y,z\right)=e^{z}-x-y^{3}-1[/mm]
Leite das partiell ab und bestimme den Wert dieser Ableitungen an der Stelle [mm]x=y=z=0[/mm]
Setze dies in das Gleichungssystem ein und löse es.
>
> ich fürchte ich habs noch nicht so ganz durchschaut ;)
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> aber deine Hilfe hat mich schon ein gewaltiges Stück näher
> gebracht! Danke dir!
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 So 04.05.2008 | | Autor: | chrisi99 |
oke, ich glaube, ich habe die Aufgabe fehlinterpretiert:
die wichtige Erkenntnis ist nicht die explizite Funktion y(x), z(x) sondern, dass diese Existieren (sprich die Matrix invertiert werden kann)?
lg
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Hallo chrisi99,
> oke, ich glaube, ich habe die Aufgabe fehlinterpretiert:
>
> die wichtige Erkenntnis ist nicht die explizite Funktion
> y(x), z(x) sondern, dass diese Existieren (sprich die
> Matrix invertiert werden kann)?
Ja, d.h. die Matrix der partiellen Ableitungen von y und z muß an der Stelle x=y=z=0 invertierbar sein.
>
> lg
Gruß
MathePower
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