Lösen eines LGS (1 Unbekannte) < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 So 05.11.2006 | | Autor: | Nofi |
| Aufgabe | Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
2x +(a-19)y + (13+a)z = -19
-10x+(28-4a)y -(12-a)z= 30
2x + (a-9)y+5z=-9
Für welche a [mm] \in [/mm] R besitzt dieses Gleichungssystem
(i) eine eindeutige Lösung
(ii) unendlich viele Lösungen
(iii) keine Lösung ? |
Also für den Anfang hab ich das Gleichungssystem in eine Matrix gepackt und mit dem lieben Gaus Verfahren umgefomrmt :
[mm] \begin{pmatrix}
2 & a-19 & 13+a & -19 \\
-10 & 28-4a & 12-a & 30 \\
2 & a-9 & 5 & -9
\end{pmatrix}
[/mm]
nun habe ich z2: z2+5z1 und z3: z3-z1
und danach z2 und z3 vertauscht , so erhalte ich :
[mm] \begin{pmatrix}
2 & a-19 & 13+a & -19 \\
0 & 10 & -a-8 & 10 \\
0 & a-67 & 77+4a & -65
\end{pmatrix}
[/mm]
Meine Idee beim ganzen :
ich dachte mir ich könnte das ganze also i , ii und iii über den rang der matrix bestimmen , so wäre also i der fall wenn Rang(Ab) = rang (a ) , also wenn das ding den Rang 3 hat und Fall ii halt weiter ...
Jedoch komme ich im moment nicht weiter und frag mich wie ich das ganze weiter angehen soll oder ob ich komplett auf dem falschen weg bin
Wäre nett wenn jemand einen kurzen Blick darauf werfen könnte
MfG
Nofi
btw: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
> 2x +(a-19)y + (13+a)z = -19
> -10x+(28-4a)y -(12-a)z= 30
> 2x + (a-9)y+5z=-9
>
> Für welche a [mm]\in[/mm] R besitzt dieses Gleichungssystem
> (i) eine eindeutige Lösung
> (ii) unendlich viele Lösungen
> (iii) keine Lösung ?
> Also für den Anfang hab ich das Gleichungssystem in eine
> Matrix gepackt und mit dem lieben Gaus Verfahren umgefomrmt
> :
>
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & a-19 & 13+a & -19 \\
-10 & 28-4a & 12-a & 30 \\
2 & a-9 & 5 & -9
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> nun habe ich z2: z2+5z1 und z3: z3-z1
> und danach z2 und z3 vertauscht , so erhalte ich :
>
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & a-19 & 13+a & -19 \\
0 & 10 & -a-8 & 10 \\
0 & a-67 & 77+4a & -65
\end{pmatrix}
[/mm]
>
Bis hierhin Super. Jetzt kannst du aber weitermachen.
[mm] \pmat{2&(a-19)&(13+a)&-19\\0&10&(-a-8)&10\\0&(a-67)&/(77+4a)&-65}
[/mm]
[mm] \gdw\pmat{2&(a-19)&(13+a)&-19\\0&10(a-67)&(-a-8)(a-67)&10(a-67)\\0&10(a-67)&10(77+4a)&10(-65)}
[/mm]
[mm] \gdw\pmat{2&(a-19)&(13+a)&-19\\0&10(a-67)&(-a-8)(a-67)&10(a-67)\\0&0&[(-a-8)(a-67)]-[10(77+4a)]&[10(a-67)]+650}
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 So 05.11.2006 | | Autor: | Nofi |
hey marius =) und gleich danke vielmals
zwer ist dir in z3 ein kleiner fehler unterlaufen wie ich glaub ;) aber nicht weiter schlimm =)
Das einzige Problem welches mir jetzt überlegungstechnisch probleme bereitet ist, wann das LGS keine Lösung hat .
könntest du mir da villeicht noch einen kleinen Tipp geben oder kurz eine Erklärung schreiben?
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich habe den Fehler entdeckt und verbessert.
Nun zu deiner Frage:
Aus
[mm] \pmat{2&(a-19)&(13+a)&-19\\0&10(a-67)&(-a-8)(a-67)&10(a-67)\\0&0&[(-a-8)(a-67)]-[10(77+4a)]&[10(a-67)]+650}
[/mm]
folgt ja:
[(-a-8)(a-67)]-[10(77+4a)]z=[10(a-67)]+650
[mm] \gdw(-a²-8a+67a+536-770-40a)z=10a-670+650
[/mm]
[mm] \gdw(-a²+19a-234)z=10a-20
[/mm]
[mm] \gdw z=\bruch{10a-20}{-a²+19a-234}
[/mm]
Damit kannst du nun x und y bestimmen.
Wenn du das hast,kannst du diese Werte in eine der gegebene Gleichunge einsetzen, so dass du eine Gleichung mit a als Variable bekommst (wahrscheinlich eine quadratische Gleichung).
Kommst du jetzt weiter?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 So 05.11.2006 | | Autor: | Nofi |
Oje ich glaub ich schlaf am besten mal drüber und mach da morgen weiter , im moment raucht mir schon der Kopf wenn man den ganzen Abend nur Matrizen gesehen hat ;)
werde mich bei allfälligen Fragen morgen nochmals melden.
Danke schonmal bis hier hin
|
|
|
|
