Lösen von Diffgl. mit Potenzr. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich hab eine allgemeine Frage zur Lösung von Diffgleichungen mit Potenzreihenansatz
Bsp:
z'=-xz(1+z) z(0)=1 hab ich das so richtig verstanden...
[mm] z(x)=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}
[/mm]
[mm] z'(x)=B+2Cx+3Dx^{2}
[/mm]
jetzt setze ich das in die Diffgl. ein
[mm] B+2Cx+3Dx^{2}=-x(A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3})*(1+A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3})
[/mm]
jetzt ausmultiplizieren...
[mm] B+2Cx+3Dx^{2}=-x^{7}D^{2}-x^{6}2D-x^{5}(2BD+2C^{2})-x^{4}(2AD+2BC+D)-x^{3}(2AC+B^{2}+C)-x^{2}(2AB+B+A^{2})-xA
[/mm]
und jetzt rechts mit links Koeffizienten vergleichen
[mm] 0=-D^{2}
[/mm]
0=-2D
[mm] 0=-(2BD+2C^{2})
[/mm]
0=-(2AD+2BC+D)
[mm] 0=-(2AC+B^{2}+C)
[/mm]
[mm] 3D=(2AB+B+A^{2})
[/mm]
2C=-A
B=0
stimmt das so oder muss ich das z'(x) auf der linken Seite bis zur [mm] x^{7} [/mm] Potenz anschreiben???
Wenn ich dann meine Koeffizienten bestimmt hab setze ich die in z(x) ein und das ist dann meine Lösung oder ??
Wie erkennt man am besten mit welches Lösungsverfahren man auf eine Diffgleichung anwenden soll um Sie lösen zu können???
Danke
lg Stevo
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Hallo stevarino,
> Hallo
>
> Ich hab eine allgemeine Frage zur Lösung von
> Diffgleichungen mit Potenzreihenansatz
> Bsp:
>
> z'=-xz(1+z) z(0)=1 hab ich das so richtig verstanden...
>
> [mm]z(x)=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}[/mm]
> [mm]z'(x)=B+2Cx+3Dx^{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> jetzt setze ich das in die Diffgl. ein
>
> [mm]B+2Cx+3Dx^{2}=-x(A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3})*(1+A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3})[/mm]
> jetzt ausmultiplizieren...
>
> [mm]B+2Cx+3Dx^{2}=-x^{7}D^{2}-x^{6}2D-x^{5}(2BD+2C^{2})-x^{4}(2AD+2BC+D)-x^{3}(2AC+B^{2}+C)-x^{2}(2AB+B+A^{2})-xA[/mm]
Das lineare Glied lauf der rechten Seite lautet so:
[mm]-\;A\;(\;1\;+\;A\;)[/mm]
> und jetzt rechts mit links Koeffizienten vergleichen
> [mm]0=-D^{2}[/mm]
> 0=-2D
> [mm]0=-(2BD+2C^{2})[/mm]
> 0=-(2AD+2BC+D)
> [mm]0=-(2AC+B^{2}+C)[/mm]
> [mm]3D=(2AB+B+A^{2})[/mm]
> 2C=-A
Da das lineare Glied auf der rechten Seite nicht stimmt, stimmt auch diese Gleichung nicht. Die richtige Gleichung lautet:
[mm]2\;C\;=\;-\;A\;(\;1\;+\;A\;)[/mm]
> B=0
> stimmt das so oder muss ich das z'(x) auf der linken Seite
> bis zur [mm]x^{7}[/mm] Potenz anschreiben???
Nein.
>
> Wenn ich dann meine Koeffizienten bestimmt hab setze ich
> die in z(x) ein und das ist dann meine Lösung oder ??
z(x) ist nur eine Näherungslösung.
>
> Wie erkennt man am besten mit welches Lösungsverfahren man
> auf eine Diffgleichung anwenden soll um Sie lösen zu
> können???
Das kommt auf die Bauart der DGL an.
Der Potenzreihenansatz zur Bestimmung einer Näherungslösung bei einer DGL geht immer. Ist etwas aufwendig (viel Rechenarbeit). Dazu gibt es Mathematik-Programme (z.B. Mathematica, Maple), die einem das abnehmen.
Gruß
MathePower
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