Lösung DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL [mm] u_{x}+u_{y}=1
[/mm]
(i) mittels Transformation [mm] \xi=x+y [/mm] und [mm] \nu=x-y
[/mm]
(ii) durch Lösen des charakteristischen Systems
Hat die DGL eine Lösung, die auf der Diagonale x=y konstant ist?
Überprüfen Sie die Determinantenbedingung des Existenzsatzes für dieses Anfangswertproblem. |
Hallo,
ich versuche gerade, mir das Themengebiet der DGL zu erarbeiten und bin dabei über diese Aufgabe gestolpert, allerdings weiss ich nicht so richtig, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich habe auch noch ähnliche Aufgaben gefunden und wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir anhand dieses Beispiels zeigen könnt, wie man so etwas angeht.
MfG
A.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Approximus |
zum Beispiel hab ich bei Punkt (i) das Problem, dass ich nicht weiss, wie [mm] u_{x} [/mm] bzw. [mm] u_{y} [/mm] aussieht. Wie setze ich da die Transformation an?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 13.06.2012 | | Autor: | Approximus |
Ich glaube, ich bin hier im falschen Teil des Forums für DGL gelandet. Habe gerade gelesen, dass [mm] u_{x}=\bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] bedeutet und somit handelt es sich um eine partielle DGL.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Mi 13.06.2012 | | Autor: | MathePower |
Hallo Approximus,
> Ich glaube, ich bin hier im falschen Teil des Forums für
> DGL gelandet. Habe gerade gelesen, dass
> [mm]u_{x}=\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm] bedeutet und somit
> handelt es sich um eine partielle DGL.
Ich habe diese Frage in den richtigen Teil des Forums verschoben:
"Forum: Mathematik > Hochschule > Analysis > Differentialgleichungen > partielle"
oder abgekürzt: "DiffGlPar"
Gruss
MathePower
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Hallo Approximus,
> Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL [mm]u_{x}+u_{y}=1[/mm]
>
> (i) mittels Transformation [mm]\xi=x+y[/mm] und [mm]\nu=x-y[/mm]
> (ii) durch Lösen des charakteristischen Systems
>
> Hat die DGL eine Lösung, die auf der Diagonale x=y
> konstant ist?
> Überprüfen Sie die Determinantenbedingung des
> Existenzsatzes für dieses Anfangswertproblem.
> Hallo,
> ich versuche gerade, mir das Themengebiet der DGL zu
> erarbeiten und bin dabei über diese Aufgabe gestolpert,
> allerdings weiss ich nicht so richtig, wie ich diese
> Aufgabe angehen soll. Ich habe auch noch ähnliche Aufgaben
> gefunden und wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir anhand
> dieses Beispiels zeigen könnt, wie man so etwas angeht.
>
Bei i) setzt Du wie folgt an:
[mm]u\left(x,y\right)= u\left( \ \xi\left(x,y\right), \ \nu\left(x,y\right) \ \right)[/mm]
und differenzierst die rechte Seite nach x und y mit Hilfe
der ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerten Kettenregel .
> MfG
> A.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Okay, dann habe ich jetzt:
[mm] u(x,y)=\omega(\xi(x,y),\nu(x,y)) [/mm] mit [mm] \xi=x+y [/mm] und [mm] \nu=x-y
[/mm]
Die partiellen Ableitungen sind:
[mm] u_{x}=\omega_{\xi}*\xi_{x}+\omega_{\nu}*\nu_{x} [/mm] und [mm] u_{y}=\omega_{\xi}*\xi_{y}+\omega_{\nu}*\nu_{y}
[/mm]
einsetzen in [mm] u_{x}+u_{y}=1:
[/mm]
[mm] \omega_{\xi}\underbrace{(\xi_{x}+\xi_{y})}_{=2}+\omega_{\nu}\underbrace{(\nu_{x}+\nu_{y})}_{=0}=1
[/mm]
daraus folg also:
[mm] \omega_{\xi}=\bruch{1}{2}
[/mm]
kann ich da jetzt integrieren?
[mm] \integral{\omega_{\xi}d\xi}=\integral{\bruch{1}{2}d\xi} \Rightarrow \omega=\bruch{1}{2}*\xi=\bruch{1}{2}(x+y)=u(x,y)
[/mm]
Ist das meine allgemeine Lösung? Wenn ich das jetzt in meine partielle DGL einsetze, kommt das richtige heraus.
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Hallo Approximus,
> Okay, dann habe ich jetzt:
>
> [mm]u(x,y)=\omega(\xi(x,y),\nu(x,y))[/mm] mit [mm]\xi=x+y[/mm] und [mm]\nu=x-y[/mm]
>
> Die partiellen Ableitungen sind:
>
> [mm]u_{x}=\omega_{\xi}*\xi_{x}+\omega_{\nu}*\nu_{x}[/mm] und
> [mm]u_{y}=\omega_{\xi}*\xi_{y}+\omega_{\nu}*\nu_{y}[/mm]
>
> einsetzen in [mm]u_{x}+u_{y}=1:[/mm]
>
> [mm]\omega_{\xi}\underbrace{(\xi_{x}+\xi_{y})}_{=2}+\omega_{\nu}\underbrace{(\nu_{x}+\nu_{y})}_{=0}=1[/mm]
>
> daraus folg also:
>
> [mm]\omega_{\xi}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> kann ich da jetzt integrieren?
>
> [mm]\integral{\omega_{\xi}d\xi}=\integral{\bruch{1}{2}d\xi} \Rightarrow \omega=\bruch{1}{2}*\xi=\bruch{1}{2}(x+y)=u(x,y)[/mm]
>
> Ist das meine allgemeine Lösung? Wenn ich das jetzt in
> meine partielle DGL einsetze, kommt das richtige heraus.
Das ist nur die partikuläre der partiellen DGL.
Die Gesamtlösung ergibt sich zu:
[mm]u\left(x,y\right)=c_{1}*g\left(x-y\right)+\bruch{1}{2}*\left(x+y\right)[/mm]
wobei [mm]g:\IR \to \IR[/mm] ist.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 So 17.06.2012 | | Autor: | Approximus |
Okay, vielen Dank für deine Hilfe!
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