Lösung DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] y'=x^y*cos(x) [/mm] |
Kann mir jemand Tipps geben wie ich hiervon die allgemeine Lösung bestimme? Ich muss die Trennung der Variablen anwenden, ich weiß aber nicht so recht wie das bei dem Beispiel funktioniert.
MfG
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]y'=x^y*cos(x)[/mm]
> Kann mir jemand Tipps geben wie ich hiervon die allgemeine
> Lösung bestimme? Ich muss die Trennung der Variablen
> anwenden, ich weiß aber nicht so recht wie das bei dem
> Beispiel funktioniert.
>
So wie die DGL da steht, kann sie nicht so geschrieben werden:
[mm]y'=f\left(x\right)*g\left(y\right)[/mm]
Lautet die DGL möglicherweise anders?
> MfG
> mathegirl
Gruss
MathePower
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oh mist, da hab ich doch glatt was vergessen!!
Selbstverständlich muss es heißen
[mm] y'=e^y*cos(x)! [/mm]
Ich weiß zwar dass sie mit getrennten Variablen berechnet werden muss, aber wie? [mm] e^y=-sin(x)+C? [/mm]
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> oh mist, da hab ich doch glatt was vergessen!!
> Selbstverständlich muss es heißen
> [mm]y'=e^y*cos(x)![/mm]
>
> Ich weiß zwar dass sie mit getrennten Variablen berechnet
> werden muss, aber wie? [mm]e^y=-sin(x)+C?[/mm]
>
Nein, so lautet die Lösung nicht.
So, diese DGL läßt sich jetzt so schreiben:
[mm]y'=f \left(x\right)*g\left(y\right)[/mm]
mit
[mm]f\left(x\right)=\cos\left(x\right), \ g\left(y\right)=e^{y}[/mm]
Es steht doch dann zunächst da:
[mm]\bruch{dy}{g\left(y\right)}=f\left(x\right) \ dx[/mm]
Nun, beide Seiten integrieren.
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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dann komme ich nach dem Integrieren auf:
[mm] e^y=-sin(x)+C
[/mm]
Nun muss ich nach y umstellen..
y= -sin(x)+ln|C|
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Sa 12.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> dann komme ich nach dem Integrieren auf:
>
> [mm]e^y=-sin(x)+C[/mm]
Ich komme auf
[mm]e^{-y}=-sin(x)+C[/mm]
> Nun muss ich nach y umstellen..
>
> y= -sin(x)+ln|C|
Selbst wenn [mm]e^y=-sin(x)+C[/mm] richtig wäre, ist
y= -sin(x)+ln|C|
falsch !
FRED
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okay, aber warum das -y bei [mm] e^{-y}?
[/mm]
Ich weiß leider nicht wie ich nach y richtig umstelle (schäm)
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
bedenke, dass es sich um eine lineare Verkettung handelt. aher bekommst du auch auf der linken Seite beim Integrieren ein Minuszeichen.
Gruß, Diophant
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okay, das - wegen dem integrieren hab ich ja verstanden aber wie muss dann y= lauten? ich komme immer wieder auf den ausdruck den ich oben bereits geschrieben habe.
Mathegirl
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Hallo,
ok, jetzt habe ich den eigentlichen Fehler auch erst gesehen. Du musst natürlcih beide Seiten logarithmieren:
[mm]-e^{-y}=sin(x)+C \gdw[/mm]
[mm]e^{-y}=-sin(x)+c[/mm] (mit c=-C)
[mm]-y=...[/mm]
jetzt kommst du. 
Gruß, Diophant
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aber genau mit dem logarithmieren stelle ich mich etwas dämlich an..
[mm] e^{-y}=-sin(x)+c
[/mm]
-ylne=-ln|sin(x)+ln|C|
y=ln|sin(x)+ln|C|
Auf das Ergebnis komme ich dann, also diese allgemeine Lösung der DGL.
Mathegirl
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Hallo,
du machst hier einen Riesen-Fehler:
[mm] log(a+b)\not=log(a)+log(b)
[/mm]
Es ist
-y=ln(sin(x)+c) (Achtung: die Stammfunktion von cos(x) ist sin(x)!)
Und jetzt musst du noch das Logarithmengesetz
[mm] log\left(\bruch{a}{b}\right)=log(a)-log(b)
[/mm]
geschickt anwenden. Siehst du, wozu?
Gruß, Diophant
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nee, ich steh wohl gerade echt auf der leitung, ich weiß leider nicht wie ich das hierbei anwenden soll..
y=-ln|sin(x)+c|
y= [mm] \bruch{ln sin(x)}{lnC}
[/mm]
ich steh echt gerade auf der Leitung..
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> nee, ich steh wohl gerade echt auf der leitung, ich weiß
> leider nicht wie ich das hierbei anwenden soll..
>
> y=-ln|sin(x)+c|
Es muss doch hier lauten:
[mm]y=-\ln\left(\blue{-}\sin\left(x\right)+C\right)[/mm]
Und das kannst Du höchstens noch umschreiben zu
[mm]y=\ln\left(\bruch{1}{-\sin\left(x\right)+C\right)}[/mm]
> y= [mm]\bruch{ln sin(x)}{lnC}[/mm]
>
> ich steh echt gerade auf der Leitung..
>
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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