Lösung DGL Bernoulli? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL [mm] y'+\bruch{y}{t}=t^2 [/mm] |
Hallo,
leider weiß ich nicht mal was für ein Typ das ist?
Worum handelt es sich bei der Aufgabe? Hab jetzt was von Bernoulli gelesen, bin mir aber nicht sicher. Tausend DANK =)
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Hallo inseljohn,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
> [mm]y'+\bruch{y}{t}=t^2[/mm]
> Hallo,
> leider weiß ich nicht mal was für ein Typ das ist?
> Worum handelt es sich bei der Aufgabe? Hab jetzt was von
> Bernoulli gelesen, bin mir aber nicht sicher. Tausend DANK
> =)
Nun, das ein lineare inhomogene DGL mit variablen Koeffizienten.
Eine Bernoulli-DGL ist z.B.
[mm]y'+\bruch{y}{t}=\blue{y^2}[/mm]
Gruss
MathePower
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Krass. Mathe muss ja echt deine große Passion sein ;) Respekt!
Ahhh, ok. Dann kann ich das mit TDV oder VDK machen?
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Hallo inseljohn,
> Krass. Mathe muss ja echt deine große Passion sein ;)
> Respekt!
>
> Ahhh, ok. Dann kann ich das mit TDV oder VDK machen?
Ja.
Gruss
MathePower
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Danke =)
Irgendwie ist die Aufgabe trotzdem komisch.
Ich hab das jetzt mal so gemacht.
[mm] y'+\bruch{y}{t}=t^2
[/mm]
[mm] y'+y=t^3
[/mm]
y'+y=0 (homogene DGL)
[mm] \bruch{dy}{dx}+y=0
[/mm]
kann man da so vorgehen?
[mm] \integral dy+y=\integral [/mm] dx
hmmmm...sieht falsch aus? =)
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Hallo inseljohn,
> Danke =)
>
> Irgendwie ist die Aufgabe trotzdem komisch.
>
> Ich hab das jetzt mal so gemacht.
>
> [mm]y'+\bruch{y}{t}=t^2[/mm]
> [mm]y'+y=t^3[/mm]
> y'+y=0 (homogene DGL)
> [mm]\bruch{dy}{dx}+y=0[/mm]
>
>
> kann man da so vorgehen?
> [mm]\integral dy+y=\integral[/mm] dx
>
> hmmmm...sieht falsch aus? =)
Die Vorgehensweise ist die:
Löse zuerst die homogenen DGL
[mm]y'+\bruch{y}{t}=0[/mm]
durch TDV.
Variiere dann die Konstante in der Lösungunfunktion [mm]y_{h}\left(t\right)[/mm]
und bestimme damit eine partikuläre Lösung der DGL
[mm]y'+\bruch{y}{t}=t^2[/mm]
Gruss
MathePower
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Ah..ok.danke.
eine kurze frage hab ich dann noch...
ich hab das jetzt so gelern [mm] y'=\bruch{dy}{dx}
[/mm]
Dann hab ich ja [mm] \bruch{dy}{dx}+\bruch{y}{t}=0
[/mm]
Jetzt hab ich ja auf einmal drei versch. variable.
Oder schrieb ich in dem fall für [mm] y'=\bruch{dy}{dt}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Mi 29.09.2010 | | Autor: | Herby |
Tach,
> Ah..ok.danke.
> eine kurze frage hab ich dann noch...
>
> ich hab das jetzt so gelern [mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm]
>
> Dann hab ich ja [mm]\bruch{dy}{dx}+\bruch{y}{t}=0[/mm]
>
> Jetzt hab ich ja auf einmal drei versch. variable.
> Oder schrieb ich in dem fall für [mm]y'=\bruch{dy}{dt}?[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
LG
Herby
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Hmm..hab das jetzt mal so gemacht
[mm] \bruch{dy}{dt}+\bruch{y}{t}=0
[/mm]
[mm] \integral dy+y=\integral [/mm] t*dt
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mi 29.09.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Hmm..hab das jetzt mal so gemacht
>
> [mm]\bruch{dy}{dt}+\bruch{y}{t}=0[/mm]
>
> [mm]\integral dy+y=\integral[/mm] t*dt
dieser Schritt passt aber nicht so ganz..
aus [mm] \frac{dy}{dt}+\frac{y}{t}=0 [/mm] wird nach [mm] \frac{dy}{dt}=-\frac{y}{t} [/mm] ein [mm] \frac{1}{y}dy=-\frac{1}{t}dt
[/mm]
und dann geht es weiter mit der Integration 
Lg
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Mi 29.09.2010 | | Autor: | inseljohn |
Ohh man^^
Alles klar. Dann werd ich morgen mal weitermachen.
Vielen Dank erstma! =)
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So, habe mich jetzt mal damit beschäftigt aber komme nicht ganz weiter
hab jetzt
[mm] \integral \bruch{dy}{dt}=\integral \bruch{dt}{t}
[/mm]
ln y=-ln t
ln y=ln [mm] \bruch{1}{t}+c
[/mm]
y= [mm] \bruch{c}{t}
[/mm]
y'=
stimmt das soweit. ehrlich gesagt, bin ich jetzt grad wieder aufgeschmissen und weiß nicht weiter.. ;)
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Hallo inseljohn,
> So, habe mich jetzt mal damit beschäftigt aber komme nicht
> ganz weiter
>
> hab jetzt
>
> [mm]\integral \bruch{dy}{dt}=\red{-}\integral \bruch{dt}{t}[/mm]
Da hattest du das "-" vergessen einzutippeln...
>
> ln y=-ln t
> ln y=ln [mm]\bruch{1}{t}+c[/mm]
> y= [mm]\bruch{c}{t}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das stimmt so, bedenke aber, dass du gerade am Anfang schön Schritt für Schritt auflösen solltest.
Du bekommst ja nach der Integration erstmal [mm]\ln(|y|)=-\ln(|t|)+c[/mm]
>
> y'=
>
> stimmt das soweit. ehrlich gesagt, bin ich jetzt grad
> wieder aufgeschmissen und weiß nicht weiter.. ;)
Das hat Mathepower doch geschrieben, mache die homogene Lösung nun abh. von t (Variation der Konstante)
Schreibe also [mm]y=\frac{c\red{(t)}}{t}[/mm]
Nun [mm]y'[/mm] berechnen und mit der Ausgangsdgl. vergleichen ...
Gruß
schachuzipus
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hey, danke
jetzt hat mir grad ein kumpel folgendes dazu per icq geschickt und ist leider wiede off.
[mm] y'=-\bruch{c}{t^2}+\bruch{c'}{t}+\bruch{c}{t^2}=t^2
[/mm]
so, woher die [mm] -c/t^2 [/mm] kommen ist mir klar. das ist ja jetzt die ableitungaber woher kommt denn der rest? Aso, die [mm] =t^2 [/mm] sind mir auch klar. aber die andern beiden dinger nicht so wirklich :/
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Hallo inseljohn,
> hey, danke
> jetzt hat mir grad ein kumpel folgendes dazu per icq
> geschickt und ist leider wiede off.
>
> [mm]y'=-\bruch{c}{t^2}+\bruch{c'}{t}+\bruch{c}{t^2}=t^2[/mm]
Das ist nicht ganz richtig.
Wenn [mm]y\left(t\right)=\bruch{c\left(t\right)}{t}[/mm] , dann ist
[mm]y'+\bruch{y}{t}=\left(-\bruch{c}{t^{2}}+\bruch{c'}{t}\right)+\left(\bruch{c/t}{t}\right)=\left(-\bruch{c}{t^{2}}+\bruch{c'}{t}\right)+\left(\bruch{c}{t^{2}}\right)=t^{2}[/mm]
> so, woher die [mm]-c/t^2[/mm] kommen ist mir klar. das ist ja jetzt
> die ableitungaber woher kommt denn der rest? Aso, die [mm]=t^2[/mm]
> sind mir auch klar. aber die andern beiden dinger nicht so
> wirklich :/
Gruss
MathePower
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Hallo,
hatte die lketzten Tage viel zu tun...
Hab die Aufgabe aber immer noch nicht ganz gerafft ;)
Mir ist nicht klar, wie du auf die [mm] \bruch{c'}{t} [/mm] kommst.
das andere ist mir klar..
gruß
inseljohn
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Hallo inseljohn,
> Hallo,
> hatte die lketzten Tage viel zu tun...
> Hab die Aufgabe aber immer noch nicht ganz gerafft ;)
>
> Mir ist nicht klar, wie du auf die [mm]\bruch{c'}{t}[/mm] kommst.
>
> das andere ist mir klar..
Nun, die Lösung der homogenen DGL ist.
[mm]y_{h}\left(t\right)=\bruch{c}{t}[/mm]
Will man die inhomogene DGL
[mm]y'+\bruch{1}{t}*y=t^{2}[/mm]
lösen, dann wendet man darauf das Verfahren der Variation
der Konstanten an, d.h. die Konstante c wird von t abhängig
gemacht.
Der Ansatz für die partikuläre Lösung lautet daher: [mm]y_{p}\left(t\right)=\bruch{c\left(t\right)}{t}[/mm]
Durch Differentiation von [mm]y_{p}[/mm] nach t erhältst Du:
[mm]y_{p}'\left(t\right)=\bruch{c'\left(t\right)*t-c\left(t\right)*1}{t^{2}}=\bruch{c'\left(t\right)}{t}-\bruch{c\left(t\right)}{t^{2}}[/mm]
>
> gruß
> inseljohn
Gruss
MathePower
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