Lösung Differenzengleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie die Differenzengleichung:
[mm] \Delta^2 Y_t [/mm] + 2 [mm] \Delta Y_t [/mm] + 2 [mm] Y_t [/mm] = 0 für [mm] Y_0,Y_1=1 [/mm] |
Also ich habe folgenden Ansatz:
[mm] \Delta Y_n [/mm] = [mm] Y_{n+1}-Y_n
[/mm]
[mm] \Delta^2 Y_n [/mm] = [mm] Y_{n+2}-2 Y_{n+1} [/mm] + [mm] Y_n
[/mm]
Dies setze ich in die obige Gleichung ein und erhalte:
[mm] Y_{n+2}-2Y_{n+1}+Y_n+2 Y_{n+1}-2 Y_n [/mm] + 2 [mm] Y_n [/mm] = 0
Dies ergibt: [mm] Y_{n+2} [/mm] + [mm] Y_n [/mm] = 0
Erstens möchte ich wissen, ob ich das überhaupt so machen darf und falls ja, wie bestimme ich nun meine Folge? Kann es sein das es etwas mit Differentialgleichungen zu tun hat.
Bspw. das ich hier auch eine charakteristische GLeichung [mm] \lambda^2+1 [/mm] = 0
lösen müsste?
Ich bin mir aber sehr unsicher, daher wäre es toll wenn mir jemand weiter helfen könnte :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die Differenzengleichung:
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> [mm]\Delta^2 Y_t[/mm] + 2 [mm]\Delta Y_t[/mm] + 2 [mm]Y_t[/mm] = 0 für [mm]Y_0,Y_1=1[/mm]
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> Also ich habe folgenden Ansatz:
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> [mm]\Delta Y_n[/mm] = [mm]Y_{n+1}-Y_n[/mm]
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> [mm]\Delta^2 Y_n[/mm] = [mm]Y_{n+2}-2 Y_{n+1}[/mm] + [mm]Y_n[/mm]
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> Dies setze ich in die obige Gleichung ein und erhalte:
>
> [mm]Y_{n+2}-2Y_{n+1}+Y_n+2 Y_{n+1}-2 Y_n[/mm] + 2 [mm]Y_n[/mm] = 0
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> Dies ergibt: [mm]Y_{n+2}[/mm] + [mm]Y_n[/mm] = 0
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> Erstens möchte ich wissen, ob ich das überhaupt so machen
> darf
Ja
> und falls ja, wie bestimme ich nun meine Folge?
Da [mm] Y_0=Y_1=1 [/mm] und [mm]Y_{n+2}[/mm] =- [mm]Y_n[/mm]
sieht man:
[mm] (Y_n)= [/mm] (1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,...)
Zeige das induktiv.
Zur allg. Theorie:
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung
FRED
> Kann
> es sein das es etwas mit Differentialgleichungen zu tun
> hat.
>
> Bspw. das ich hier auch eine charakteristische GLeichung
> [mm]\lambda^2+1[/mm] = 0
> lösen müsste?
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> Ich bin mir aber sehr unsicher, daher wäre es toll wenn
> mir jemand weiter helfen könnte :)
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