Lösung Gleichungssystem < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Di 12.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich verzweifele gerade an folgender Aufgabe, welche sicherlich vom Schwierigkeitsgrad nicht sehr hoch ist:
Durch
y1=-x1 + 3x2 + 2x3
y2=2x1 + x3
y3=4x1 - 2x2
wird eine lineare Abbildung beschrieben.
a) Man bestimme das Bild [mm] \Phi [/mm] (E) von E: x1+x2+x3=1
Sicherlich gibt es mehrere Varianten, um zum Ziel zu kommen.
Ich bin aber auf folgende fixiert und möchte mit dieser zum Ergebnis gelangen.
A*x = y
/-1 3 2\ x1 y1
| 2 0 1| * x2 = y2
\ 4 -2 0/ x3 y3
Wenn ich dieses Gleichungssystem mit meinem Taschenrechner (TI) löse, komme ich auf folgende Ergebnisse:
x1=y1-2y2+1,5y3
x2=2y1-4y2+2,5y3
x3=-2y1+5y2-3y3
Wenn ich diese Lösungen jetzt in:
x1+x2+x3=1 einsetze, dann komme ich auf die richtige Lösung
y1-y2+y3=1
Mein Problem liegt aber bei der Lösung des Gleichungssystems mit dem Gauss-Verfahren.
Wenn ich dieses Gleichungssystem löse und dann in die Ebenengleichung von oben einsetze, dann komme ich leider nicht auf das richtige Ergebnis.
Könnte mir jmd. die Lösung dieses Gleichungssystems mit dem Gauss-Verfahren kurz erläutern.
Ich wäre wirklich sehr dankbar, da ich in meinem Lösungsweg in keinster Weise einen Fehler finden kann.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Di 12.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Maiko,
du hast ja die drei Gleichungen:
[mm] $-x_1+3x_2+2x_3=y_1$
[/mm]
[mm] $2x_1+x_3=y_2$
[/mm]
[mm] $4x_1-2 x_2 [/mm] = [mm] y_3$
[/mm]
D.h. die Variablen sind die [mm] $x_i$.
[/mm]
Ich schreibe es mal mit Matrix:
$ [mm] \pmat{ -1 & 3 & 2 & y_1\\ 2 & 0 & 1 & y_2\\ 4 & -2 & 0 & y_3 }\gdw \pmat{ -5 & 3 & 0 & y_1-2y_2\\ 2 & 0 & 1 & y_2\\ -2 & 1 & 0 & -\frac{1}{2}y_3 }\gdw \pmat{ 1 & 0 & 0 & y_1-2y_2+\frac{3}{2}y_3\\ 2 & 0 & 1 & y_2\\ -2 & 1 & 0 & -\frac{1}{2}y_3 } \gdw \pmat{ 1 & 0 & 0 & y_1-2y_2+\frac{3}{2}y_3\\ 0 & 0 & 1 &2y_1-4y_2+\frac{5}{2}y_3 \\ 0 & 1 & 0 & -2y_1+5y_2-3y_3 } [/mm] $
Ist die Lösung für dich mit den Zwischenschritten nachvollziehbar?
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 12.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke für deine schnelle Antwort. Deine Schritte sind an sich nachvollziehbar, doch habe ich noch eine Frage.
Eigentlich darf doch, vor der Anwendung des Gauß-Algorithmus, auf der Diagonale der zu behandelnden Matrix keine 0 stehen oder?
Normalerweise muss man hier die Zeilen tauschen, damit man ein Zahl verschieden von 0 auf der Diagonale stehen hat.
Oder sehe ich das falsch??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Di 12.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Maiko,
keine Ahnung, diese Regel kenne ich nicht - aber du hast Recht, man kann einfach die Spalten tauschen um das Problem zu umgehen.
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Di 12.04.2005 | | Autor: | Maiko |
So, ich habe nun das richtige Ergebnis raus, nachdem ich die zweite mit der dritten Spalte vertauscht habe.
Es dürfen nämlich wirklich keine 0en auf der Diagonale liegen. Da bin ich mir ziemlich sicher.
Die Frage, die ich noch hätte, wäre:
Warum komme ich auf das richtige Ergebnis, wenn ich die zweite mit der dritten Spalte vertausche bzw. warum komme ich auf das falsche Ergebnis, wenn ich die 3. mit der 2.Zeile vertausche??
Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Max |
> So, ich habe nun das richtige Ergebnis raus, nachdem ich
> die zweite mit der dritten Spalte vertauscht habe.
> Es dürfen nämlich wirklich keine 0en auf der Diagonale
> liegen. Da bin ich mir ziemlich sicher.
Naja, ich sage es mal so, für die lösbarkeit muss es egal sein, wo du die Koeffizienten einträgst, es kann ja nicht sein das die Bezeichnung über die Lösbarkeit des Problems entscheidet. ABER wenn man stur den Gauß-Algorithmus anwenden will, ist es sicherlich sinnvoll die Spalten und Zeilen so zu vertauschen, dass man die Nullen nicht auf der Diagonalen hat.
>
> Die Frage, die ich noch hätte, wäre:
> Warum komme ich auf das richtige Ergebnis, wenn ich die
> zweite mit der dritten Spalte vertausche bzw. warum komme
> ich auf das falsche Ergebnis, wenn ich die 3. mit der
> 2.Zeile vertausche??
Das sollte nicht so sein, hast du jetzt gerade Zeile und Spalte verwechselt? Wenn du die Spalten tauschst, muss du daran denken, dass du die Variablen getauscht hast, wenn du die Zeilen tauschst musst du daran denken auch die [mm] $y_i$ [/mm] mitzutauschen. Dann sollte alles möglich sein.
Gruß Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Ich hatte vorher mit den vertauschten Zeilen gerechnet. Komischerweise bin ich damit nicht auf das richtige Ergebnis gekommen.
Als ich aber die Spalten vertauscht habe, hat es geklappt. Deswegen bevorzuge ich ab heute das Spaltentauschen 
Selbst, wenn ich die Spaltentausche, muss ich glaube ich nicht die Variablen mitverändern. Rein formell wäre dies sicherlich korrekt, aber ich glaube, es ändert an der Lösung der Aufgabe nichts. Zumindest war das bei mir so.
Oder wie siehst du das?
|
|
|
| |
|
Hallo!
Beim Spaltentausch verändern sich die Variablen in jedem Fall in ihrer Reihenfolge!
Der Fehler liegt im letzten Schritt: Die erste Zeile muss zweimal von der 2. Zeile abgezogen werden, und nicht aufaddiert werden. Und bei der 3. Zeile ist genau dasselbe passiert. Dann noch die 2. und 3. Zeile vertauschen, dann müsste alles stimmen!
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Die Variablen ändern sich natürlich beim Spaltenvertauschen, also wenn ich z.B. die 2. mit der 3.Spalte tausche, dann vertausche ich z.B. x2 und x3.
Trotzdem hab ich dies nicht beachtet, ich habe einfach die Spalten vertauscht und die Variablenbezeichnung so gelassen.
Ich bin auf das richtige Ergebniss gekommen.
Gibt es dafür eine logische Erklärung??
|
|
|
| |
|
Hallo Maiko,
natürlich gibt es eine logische Antwort: Im letzten Schritt der Rechnung ist ein Fehler. Statt
$ [mm] \pmat{ -1 & 3 & 2 & y_1\\ 2 & 0 & 1 & y_2\\ 4 & -2 & 0 & y_3 }\gdw \pmat{ -5 & 3 & 0 & y_1-2y_2\\ 2 & 0 & 1 & y_2\\ -2 & 1 & 0 & -\frac{1}{2}y_3 }\gdw \pmat{ 1 & 0 & 0 & y_1-2y_2+\frac{3}{2}y_3\\ 2 & 0 & 1 & y_2\\ -2 & 1 & 0 & -\frac{1}{2}y_3 } \gdw \pmat{ 1 & 0 & 0 & y_1-2y_2+\frac{3}{2}y_3\\ 0 & 0 & 1 &2y_1-4y_2+\frac{5}{2}y_3 \\ 0 & 1 & 0 & -2y_1+5y_2-3y_3 } [/mm] $
muss es heißen
$ [mm] \pmat{ -1 & 3 & 2 & y_1\\ 2 & 0 & 1 & y_2\\ 4 & -2 & 0 & y_3 }\gdw \pmat{ -5 & 3 & 0 & y_1-2y_2\\ 2 & 0 & 1 & y_2\\ -2 & 1 & 0 & -\frac{1}{2}y_3 }\gdw \pmat{ 1 & 0 & 0 & y_1-2y_2+\frac{3}{2}y_3\\ 2 & 0 & 1 & y_2\\ -2 & 1 & 0 & -\frac{1}{2}y_3 } \gdw \pmat{ 1 & 0 & 0 & y_1-2y_2+\frac{3}{2}y_3\\ 0 & 0 & 1 &-2y_1+5y_2-3y_3 \\ 0 & 1 & 0 & 2y_1-4y_2+\frac{5}{2}y_3} [/mm] $ $ [mm] \gdw \pmat{ 1 & 0 & 0 & y_1-2y_2+\frac{3}{2}y_3\\ 0 & 1 & 0 &2y_1-4y_2+\frac{5}{2}y_3 \\ 0 & 0 &1 & -2y_1+5y_2-3y_3 } [/mm] $.
Eigentlich hatte ich das vorhin schon angedeutet, wahrscheinlich hast du's einfach überlesen.
Und wenn du die Variablenvertauschung beim Spaltenvertauschen nicht beachtest kommst du nur deshalb vom falschen auf etwas richtiges, weil du erneut einen Fehler machst!
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Ich bin nicht von der Lösung von Max ausgegangen. Ich habe das Gleichungssystem anders gelöst.
Ausgangsmatrix:
[mm] \pmat{ -1 & 3 & 2 & y1 \\ 2 & 0 & 1 & y2 \\ 4 & -2 & 0 & y3 }
[/mm]
Nun habe ich Spalte 2 und 3 getauscht:
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 3 & y1 \\ 2 & 1 & 0 & y2 \\ 4 & 0 & -2 & y3 }
[/mm]
1. Schritt:
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 3 & y1 \\ 0 & 5 & 6 & 2y1 + y2 \\ 0 & 8 & 10 & 4y1 + y3 }
[/mm]
2.Schritt:
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 3 & y1 \\ 0 & 5 & 6 & 2y1 + y2 \\ 0 & 0 & -2 & -4y1 + 8y2 - 5y3 }
[/mm]
Jetzt habe ich das Gleichungssystem gelöst. Dabei habe ich bewusst nicht beachtet, dass ich eigentlich x2 und x3 vertauschen müsste:
-2x3 = -4y1 + 8y2 - 5y3
x3 = 2y1 - 4y2 + 2,5y3
5x2 + 6x2 = 2y1 + y2
x2=-2y1 + 5y2 - 3y3
-x1 + 2x2 + 3x3 = y1
x1= y1 - 2y2 + 1,5y3
Nun habe ich die einzelnen x-Werte in die Gleichung x1+x2+x3=1 eingesetzt. Ich bekomme dann folgendes heraus:
y1-y2+y3=1
Das ist die richtige Lösung. Meiner Meinung nach komme ich auf die Lösung ohne irgendeinen Fehler gemacht zu haben.
Das Vertauschen von x2 und x3 dürfte keine Rolle spielen.
Ich frag mich nur, wie man das logisch erklären könnte.
Könnt ihr da helfen?
|
|
|
| |
|
Hallo Maiko,
dass du wegen den (nicht vertauschten) [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] keine Probleme bekommst, liegt daran, dass [mm] $x_1+x_3+x_2=1$ [/mm] genau dann wenn [mm] $x_1+x_2+x_3=1$.
[/mm]
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Das ist logisch.
Hätte ich auch von selbst drauf kommen können 
Danke für eure Hilfe!!
|
|
|
|
