Lösung LGS mit Parameter < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 So 13.11.2011 | | Autor: | davux |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, für welche [mm] $t\in\IR$ [/mm] das durch die folgende erweiterte Koeffizientenmatrix [mm] $E_t$ [/mm] gegebene lineare Gleichungssystem lösbar ist und ermitteln Sie gegebenenfalls die Lösung. Die den Spaltennummern 1, 2 und 3 zugeordneten Variablen seien x, y und z.
[mm] $E_t:=\pmat{2&4&2&|&12t\\2&12&7&|&12t+7\\1&10&6&|&7t+8}$ [/mm] |
Grüße,
zuerst dachte ich, sollte ich die Matrix mit Gauß in Treppenform bringen:
I'=I/2:
[mm] $\pmat{1&2&1&|&6t\\2&12&7&|&12t+7\\1&10&6&|&7t+8}$
[/mm]
II'=II-2I, III'=III-I:
[mm] $\pmat{1&2&1&|&6t\\0&8&5&|&7\\0&6&4&|&-5t+8}$
[/mm]
[mm] III''=III'-$\bruch{3}{4}$II':
[/mm]
[mm] $\pmat{1&2&1&|&6t\\0&8&5&|&7\\0&0&\bruch{1}{4}&|&-5t+\bruch{7}{4}}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{4}z=-5t+\bruch{7}{4}\gdw [/mm] z=-20t+7$ [mm] (\*)
[/mm]
[mm] (\*) [/mm] in II':
[mm] $8y+5(-20t+7)=7\gdw y=\bruch{25}{2}t-\bruch{7}{2}$ (\Delta)
[/mm]
[mm] (\*), (\Delta) [/mm] in I':
[mm] $x+2(\bruch{25}{2}t-\bruch{7}{2})-20t+7=6t\gdw [/mm] x=t$
[mm] \IL=\{\pmat{t\\\bruch{25}{2}t-\bruch{7}{2}\\-20t+7}|t\in\IR\}
[/mm]
Das sieht gut aus, aber ich weiß nicht, wie ich das interpretieren soll. Nach etwas unproduktivem Herumrechnen habe ich mich für einen neuen Ansatz entschieden.
I: $2x+4y+2z=12t$
[mm] $\gdw [/mm] 2z=12t-2x-4y$
[mm] $\gdw [/mm] z=6t-x-2y$ [mm] (\*)
[/mm]
[mm] (\*) [/mm] in II:
$2x+12y+7(6t-x-2y)=12t+7$
[mm] $\gdw [/mm] 42t-5x-2y=12t+7$
[mm] $\gdw [/mm] 5x+2y=30t-7$
[mm] (\*) [/mm] in III:
$x+10y+6(6t-x-2y)=7t+8$
[mm] $\gdw [/mm] 36t-5x-2y=7t+8$
[mm] $\gdw [/mm] 5x+2y=29t-8$
Somit erhalte ich ein LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen.
[mm] \vmat{5x+2y&=&30t-7\\5x+2y&=&29t-8}
[/mm]
Wenn ich die Gleichungen subtrahiere erhalte ich
[mm] $0=t+1\gdw [/mm] t=-1$
Daraus habe ich für mich geschlossen, dass [mm] E_t [/mm] nur für $t=-1$ lösbar ist?
|
|
| |
|
Hallo davux,
> Bestimmen Sie, für welche [mm]t\in\IR[/mm] das durch die folgende
> erweiterte Koeffizientenmatrix [mm]E_t[/mm] gegebene lineare
> Gleichungssystem lösbar ist und ermitteln Sie
> gegebenenfalls die Lösung. Die den Spaltennummern 1, 2 und
> 3 zugeordneten Variablen seien x, y und z.
>
> [mm]E_t:=\pmat{2&4&2&|&12t\\
2&12&7&|&12t+7\\
1&10&6&|&7t+8}[/mm]
> Grüße,
> zuerst dachte ich, sollte ich die Matrix mit Gauß in
> Treppenform bringen:
>
> I'=I/2:
> [mm]\pmat{1&2&1&|&6t\\
2&12&7&|&12t+7\\
1&10&6&|&7t+8}[/mm]
>
> II'=II-2I, III'=III-I:
> [mm]\pmat{1&2&1&|&6t\\
0&8&5&|&7\\
0&6&4&|&-5t+8}[/mm]
Hier stimmt die letzte Zeile nicht, bedenke, dass du ja in Zeile 1 nun $1 \ 2 \ 1 \ [mm] \mid [/mm] \ 6t$ stehen hast.
Es ergibt sich für die 3.Zeile: $0 \ 8 \ 5 \ [mm] \mid [/mm] \ t+8$
Damit bist du schnell am Ziel ...
>
> III''=III'-[mm]\bruch{3}{4}[/mm]II':
>
> [mm]\pmat{1&2&1&|&6t\\
0&8&5&|&7\\
0&0&\bruch{1}{4}&|&-5t+\bruch{7}{4}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4}z=-5t+\bruch{7}{4}\gdw z=-20t+7[/mm] [mm](\*)[/mm]
>
> [mm](\*)[/mm] in II':
> [mm]8y+5(-20t+7)=7\gdw y=\bruch{25}{2}t-\bruch{7}{2}[/mm] [mm](\Delta)[/mm]
>
> [mm](\*), (\Delta)[/mm] in I':
> [mm]x+2(\bruch{25}{2}t-\bruch{7}{2})-20t+7=6t\gdw x=t[/mm]
>
> [mm]\IL=\{\pmat{t\\
\bruch{25}{2}t-\bruch{7}{2}\\
-20t+7}|t\in\IR\}[/mm]
>
> Das sieht gut aus, aber ich weiß nicht, wie ich das
> interpretieren soll. Nach etwas unproduktivem Herumrechnen
> habe ich mich für einen neuen Ansatz entschieden.
>
> I: [mm]2x+4y+2z=12t[/mm]
> [mm]\gdw 2z=12t-2x-4y[/mm]
> [mm]\gdw z=6t-x-2y[/mm] [mm](\*)[/mm]
>
> [mm](\*)[/mm] in II:
> [mm]2x+12y+7(6t-x-2y)=12t+7[/mm]
> [mm]\gdw 42t-5x-2y=12t+7[/mm]
> [mm]\gdw 5x+2y=30t-7[/mm]
>
> [mm](\*)[/mm] in III:
> [mm]x+10y+6(6t-x-2y)=7t+8[/mm]
> [mm]\gdw 36t-5x-2y=7t+8[/mm]
> [mm]\gdw 5x+2y=29t-8[/mm]
>
> Somit erhalte ich ein LGS mit 2 Unbekannten und 2
> Gleichungen.
>
> [mm]\vmat{5x+2y&=&30t-7\\
5x+2y&=&29t-8}[/mm]
>
> Wenn ich die Gleichungen subtrahiere erhalte ich
>
> [mm]0=t+1\gdw t=-1[/mm]
>
> Daraus habe ich für mich geschlossen, dass [mm]E_t[/mm] nur für
> [mm]t=-1[/mm] lösbar ist?
Ja, das ergibt sich ohne den blöden Rechenfehler in deinem ersten (sehr richtigen) Ansatz, direktemeng ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 13.11.2011 | | Autor: | davux |
Ich weiß nicht, was du mit ", direktmeng ..." meinst.
also ich habe nun die erste Variante korrigiert. Dort erhalte ich jetzt auch $t=-1$. Aber ich finde die Behauptung etwas gewagt, zu sagen, dass [mm] E_t [/mm] nur für $t=-1$ lösbar ist. Was ist denn das Argument, bzw. was habe ich da ausgearbeitet, womit ich $t=-1$ erhalten habe? Ich werde nochmal die korrigierte erste Variante posten:
[mm] $E_t=\pmat{2&4&2&12t\\2&12&7&12t+7\\1&10&6&7t+8}$ $\sim>\pmat{2&4&2&12t\\0&8&5&7\\0&8&5&t+8}$ $\sim>\pmat{2&4&2&12t\\0&8&5&7\\0&0&0&t+1}$
[/mm]
[mm] \sim> $0=t+1\gdw [/mm] t=-1$
Ich würde jetzt hier meine Folgerung, dass [mm] E_t [/mm] nur für t=-1 lösbar folgen lassen, aber mir fehlt irgendwie die Begründung.
In einem zweiten Schritt bilde ich [mm] E_{-1}, [/mm] ebenfalls Gauß angewandt, freier Parameter [mm] k\in\IR [/mm] für z.
[mm] $E_{-1}=\pmat{2&4&2&-12\\2&12&7&-5\\1&10&6&1}$ $\sim>\pmat{2&4&2&-12\\0&8&5&-5\\0&8&5&-5}$ $\sim>\pmat{2&4&2&-12\\0&8&5&-5\\0&0&0&0}$
[/mm]
Aus der Nullzeile folgere ich,
III'': $0=0$. Sei $z=k$ mit [mm] $k\in\IR$ (\*)
[/mm]
[mm] (\*) [/mm] in II': $8y+5k=-5$
[mm] $\gdw y=-\bruch{5}{2}-\bruch{5k}{8}$ (\Delta)
[/mm]
[mm] (\*),(\Delta) [/mm] in I: [mm] $2x+4(-\bruch{5}{2}-\bruch{5k}{8})+2k=-12$
[/mm]
[mm] $\gdw x=-\bruch{19}{4}+\bruch{3k}{4}$
[/mm]
[mm] $\IL=\{\pmat{-\bruch{19}{4}+\bruch{3k}{4}\\-\bruch{5}{2}-\bruch{5k}{8}\\k}|k\in\IR\}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
betrachte jetzt die 3. Zeile, dort steht:
0*x+0*y+0*z=t+1
0=t+1
nur für t=-1 entsteht für besagte Gleichung eine wahre Aussage 0=0
bei deiner weiteren Rechnung stimmt in der 2. Matrix die 2. Zeile nicht, dort steht 0; 8; 5; 7
löse es allgemein
aus der Zeile 0; 8; 5; 7 folgt doch
8y+5z=7 setze z=p frei wählbarer Parameter
[mm] y=\bruch{3}{4}-\bruch{5}{8}p
[/mm]
jetzt noch x berechnen
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 So 13.11.2011 | | Autor: | davux |
In der besagten zweiten Matrix ist nicht nur die zweiten Zeile falsch gewesen, sondern auch die letzte in der Art, dass sich der Fehler wieder aufgehoben hat. Leider stimmten die Folgerechnungen aber durch die Fehler auch nicht mehr.
|
|
|
|
