Lösung der Anfangswertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Do 25.01.2018 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme die Lösung der Anfangswertaufgabe
y`(x) = [mm] (y(x))^3*e^{2x} [/mm] ; y(0) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] |
Hallo,
hier einmal mein bisheriger Ansatz:
y'(x) = [mm] (y(x))^3*e^{2x} [/mm] => [mm] \bruch{dy}{dx}=y^3*e^{2x} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{y^3} [/mm] dy = [mm] e^{2x} [/mm] dx
[mm] \integral{\bruch{1}{y^3}} [/mm] dy => [mm] \integral{e^{2x}}dx [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2y^2}=\bruch{1}{2}e^{2x}+C
[/mm]
=> -1 = [mm] 2y^2(\bruch{1}{2}e^{2x}+C)
[/mm]
= - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] y^2(\bruch{1}{2}e^{2x}+C)
[/mm]
= [mm] \bruch{- \bruch{1}{2}}{\bruch{1}{2}e^{2x}+C} [/mm] = [mm] y^2
[/mm]
= - [mm] \bruch{1}{e^{2x}+C} [/mm] = [mm] y^2
[/mm]
y(x) = [mm] \wurzel{- \bruch{1}{e^{2x}+C}}
[/mm]
Nun scheint ja etwas nicht zu stimmen, da ich einen negativen Ausdruck in der Wurzel stehen habe - wo habe ich einen Fehler gemacht ?
Vielen Dank
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Hallo,
au weia, da sind dir aber in Sachen Notation einige arge Schnitzer unterlaufen (Implikationspfeil anstatt Gleichheitszeichen etc.).
> Bestimme die Lösung der Anfangswertaufgabe
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> y'(x) = [mm](y(x))^3*e^{2x}[/mm] ; y(0) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Hallo,
>
> hier einmal mein bisheriger Ansatz:
>
> y'(x) = [mm](y(x))^3*e^{2x}[/mm] => [mm]\bruch{dy}{dx}=y^3*e^{2x}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{y^3}[/mm] dy = [mm]e^{2x}[/mm] dx
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{y^3}}[/mm] dy => [mm]\integral{e^{2x}}dx[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{2y^2}=\bruch{1}{2}e^{2x}+C[/mm]
>
Bis auf die Notation (wie schon erwähnt) ist das richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Was jetzt kommt, kann man wohl am einfachsten mit der Bemerkung warum einfach, wenns auch kompliziert geht? bewerten. 
> => -1 = [mm]2y^2(\bruch{1}{2}e^{2x}+C)[/mm]
>
> = - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]y^2(\bruch{1}{2}e^{2x}+C)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{- \bruch{1}{2}}{\bruch{1}{2}e^{2x}+C}[/mm] = [mm]y^2[/mm]
>
> = - [mm]\bruch{1}{e^{2x}+C}[/mm] = [mm]y^2[/mm]
>
> y(x) = [mm]\wurzel{- \bruch{1}{e^{2x}+C}}[/mm]
>
> Nun scheint ja etwas nicht zu stimmen, da ich einen
> negativen Ausdruck in der Wurzel stehen habe - wo habe ich
> einen Fehler gemacht ?
Das ist kein Fehler, sondern deinem Lösungsweg geschuldet. Der Wurzelinhalt muss ja auch nicht negativ sein, je nach dem Wert von C gibt es einen nichtleeren Definitionsbereich für den Wurzelterm
Für dein Anfangswertproblem sollte C=-5 herauskommen.
So habe ich das gelöst:
[mm]\begin{aligned}
- \frac{1}{2y^2}&= \frac{1}{2}e^{2x}+c\\
\\
\frac{1}{y^2}&=-e^{2x}-2c\ ;\ C=-2c\ \Rightarrow\\
\\
y^2&=\frac{1}{C-e^{2x}}\\
\\
y&= \pm\sqrt{\frac{1}{C-e^{2x}}}
\end{aligned}[/mm]
Beachte, dass da nach dem Radizieren durchaus ersteinmal ein 'Plus/Minus' vor der Wurzel stehen muss. Das wird erst durch deinen positiven Anfangswert positiv. Weiter musst du hier beachten dass meine Konstante C für einen anderen Wert steht als deine (Ich habe die Substitution der Konstante, die ich durchgeführt habe, oben angegeben).
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 So 28.01.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe - hat alles wunderbar geklappt !
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