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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 31.10.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie für das Anfangswertproblem
[mm] (x^2+1)y' [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 1 = 0, [mm] y(\wurzel{3}) [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
die Lösung mit zugehörigem maximalen Definitionsbereich. Lösen Sie dabei die DGL durch Trennung der Variablen (Suchen Sie nicht eine homogene DGL auf!). Verwenden Sie die Beziehung tan [mm] (\pi/3)=\wurzel{3}. [/mm] Beachten Sie bei der Findung des maximalen Definitionsbreiches die Polstellen des Tangens sowie den Wertebereich des Arcustangens. |
Also ich bin bis jetzt soweit gekommen:
Gesucht ist eine Funktion I [mm] \to \IR, [/mm] die die DGL und AW erfüllt.
Hier ist der Definitionsbereich x [mm] \in \IR
[/mm]
Wir lösen mit TdV:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{Y(y)} dy}=\integral_{}^{}{X(x) dx}
[/mm]
Am Beispiel:
[mm] (x^2+1)y'=-y^2-1 [/mm] dann wird durch [mm] (x^2+1) [/mm] geteilt, also
[mm] y'=\bruch{-y^2-1}{x^2+1}
[/mm]
Das ist eine separate DGL mit [mm] X(x)=x^2+1 [/mm] und [mm] Y(y)=-y^2-1
[/mm]
also mit TdV:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{-y^2-1} dy}=\integral_{}^{}{x^2+1 dx}
[/mm]
So und wie integriert man jetzt den linken Term?
Umformen kann man den ja nicht, um ne PBZ zu machen...
Jemand ne Idee?
Gruß David
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Hallo
> Ermitteln Sie für das Anfangswertproblem
> [mm](x^2+1)y'[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 1 = 0, [mm]y(\wurzel{3})[/mm] = [mm]\wurzel{3}[/mm]
> die Lösung mit zugehörigem maximalen Definitionsbereich.
> Lösen Sie dabei die DGL durch Trennung der Variablen
> (Suchen Sie nicht eine homogene DGL auf!). Verwenden Sie
> die Beziehung tan [mm](\pi/3)=\wurzel{3}.[/mm] Beachten Sie bei der
> Findung des maximalen Definitionsbreiches die Polstellen
> des Tangens sowie den Wertebereich des Arcustangens.
> Also ich bin bis jetzt soweit gekommen:
> Gesucht ist eine Funktion I [mm]\to \IR,[/mm] die die DGL und AW
> erfüllt.
> Hier ist der Definitionsbereich x [mm]\in \IR[/mm]
> Wir lösen mit
> TdV:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{Y(y)} dy}=\integral_{}^{}{X(x) dx}[/mm]
>
> Am Beispiel:
> [mm](x^2+1)y'=-y^2-1[/mm] dann wird durch [mm](x^2+1)[/mm] geteilt, also
> [mm]y'=\bruch{-y^2-1}{x^2+1}[/mm]
> Das ist eine separate DGL mit [mm]X(x)=x^2+1[/mm] und [mm]Y(y)=-y^2-1[/mm]
> also mit TdV:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{-y^2-1} dy}=\integral_{}^{}{x^2+1 dx}[/mm]
>
Die linke Seite ist richtig, jedoch muss es rechts heißen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^2} dx}
[/mm]
> So und wie integriert man jetzt den linken Term?
> Umformen kann man den ja nicht, um ne PBZ zu machen...
> Jemand ne Idee?
Also du könntest es natürlich versuchen mit PBZ. Dann müsstest du einen Umweg ins Komplexe machen, aber das ist nicht weiter schlimm. Am Ende würde das richtige (reelle) Ergebnis herauskommen.
Alternativ kannst du auch einfach an den Arcustangens denken, denn es gilt ja
[mm] (\bruch{1}{1+x^2})=arctan'(x)
[/mm]
Ich hoffe, das hilft dir weiter
> Gruß David
>
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 31.10.2011 | | Autor: | David90 |
ok das mit dem arctan würde ja nur das integral auf der rechten seite lösen, aber was is mit der linken seite? hat man denn da ne andere wahl, als eine PBZ zu machen?
Gruß David
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Hallo David90,
> ok das mit dem arctan würde ja nur das integral auf der
> rechten seite lösen, aber was is mit der linken seite? hat
> man denn da ne andere wahl, als eine PBZ zu machen?
Das Integral auf der linken Seite ist von der Bauart wie das
Integral auf der rechten Seite.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 31.10.2011 | | Autor: | David90 |
ok ok...
also das ist ja dann [mm] -tan^{-1}(y)=arctan(x)+c
[/mm]
aber wie gehts denn jetzt weiter? ich soll ja die polstellen beachten vom Tangens und die sind ja (1/2+n)* [mm] \pi [/mm] mit n [mm] \in \IZ [/mm]
kann man den term auch umschreiben in [mm] -tan^{-1}(y) [/mm] = [mm] tan^{-1}(x) [/mm] ?
Gruß David
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Hallo nochmal
> ok ok...
> also das ist ja dann [mm]-tan^{-1}(y)=arctan(x)+c[/mm]
> aber wie gehts denn jetzt weiter? ich soll ja die
> polstellen beachten vom Tangens und die sind ja (1/2+n)*
> [mm]\pi[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm]
> kann man den term auch umschreiben in [mm]-tan^{-1}(y)[/mm] =
> [mm]tan^{-1}(x)[/mm] ?
> Gruß David
ich würde erstmal die Lösung y bestimmen und die Konstante
=>y=tan(-arctan(x)+c)
Jetzt bestimm mal die Konstante c und dann überleg dir, wie der Tangens, bzw. der Arcustangens aussieht und wie sie definiert sind.
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Mo 31.10.2011 | | Autor: | David90 |
Wie hast du das denn gemacht dass y=tan(-arctan(x)+c) da steht? mal (-1) genommen und dann steht auf der linken Seite der Tangens im Nenner...wie machst du das, dass nur noch y da steht? also der tangens is ja begrenzt durch - [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] \pi [/mm] /2 und der arcustangens is begrenzt durch 1 und -1 wenn ich mich nicht irre...aber wie hilft mir das die konstante zu bestimmen:(
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Hallo
Ich fass es nochmal zusammen.
Ich fange hier an:
[mm] -\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+y^2}dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^2}dx}
[/mm]
=>-arctan(y)=arctan(x)+c
=>arctan(y)=-arctan(x)+d (d ist eine neue Konstante d:=-c)
=>y=tan(-arctan(x)+d)
AW [mm] y(\wurzel{3})=\wurzel{3}
[/mm]
=> [mm] \wurzel{3}=tan(-arctan(\wurzel{3})+d)=tan(-\bruch{\pi}{3}+d)
[/mm]
[mm] =>arctan(\wurzel{3})=-\bruch{\pi}{3}+d
[/mm]
[mm] =>d=\bruch{2\pi}{3}
[/mm]
Jetzt kannst du d in die Lösung einsetzen und du hast deien Lösung.
Nun musst du schauen, wo die Lösung definiert ist und das wichtige ist, dass der Anfangswert in deinem Intervall enthalten sein muss.
Ich guck morgen nochmal über die Aufgabe drüber, aber du kannst es ja auch versuchen.
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:59 Mo 31.10.2011 | | Autor: | David90 |
ohh man muss mich mal besser mit den winkelfunktionen beschäftigen :/
naja die lösung is ja y=tan(-arctan(x) + 2* [mm] \pi/3) [/mm] und der tangens von [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] -\pi/2 [/mm] kann ja nicht gebildet werden also darf der term in der klammer nich [mm] \pi/2 [/mm] und ganzzahlige vielfache davon sein. dazu kommt dass der anfangswert enthalten sein muss...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 03.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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