Lösung der Gleichung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben sie alle (reelen und komplexen Lösungen) der Gleichung an.
[mm] z^4 [/mm] = 16*i
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also der Betrag= Wurzel von 0 + [mm] 16^2 [/mm] = 16
Der Winkel (das Argument) : [mm] \pi/2 [/mm] da der Realteil gleich 0 ist.
Soll ich jetzt die Moivresche Regel anwenden?
Also : [mm] z^n [/mm] = [mm] r^n(cos (n*\alpha) [/mm] + i*sin [mm] (n+\alpha) [/mm] ).
[mm] \to z^4 [/mm] = [mm] 16^4 [/mm] (cos [mm] (4*\pi/2) [/mm] + i*sin [mm] (n+\pi/2) [/mm] ).
Ist das so richtig?
Und dann in die Euler-Form=
[mm] 16^4*e^4*\pi/2
[/mm]
Wie lese ich dadraus die Lösungen ab?
Das mit dem [mm] 4*\pi/2 [/mm] kommt mir komisch vor.Ist das nicht wieder der Anfang
des Kreises?
Wäre froh über eine Anregung.
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Hallo EPaulinchen,
du kannst die Formel benutzen:
Die n Lösungen von [mm] $w^n=z$ [/mm] sind für $k=0,1,...,n-1$
[mm] $w_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\phi}{n}+\frac{2k}{n}\pi\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\phi}{n}+\frac{2k}{n}\pi\right)\right)$
[/mm]
wobei [mm] $\phi=arg(z)$
[/mm]
Also in deinem Falle:
Berechne die 4 Lösungen
[mm] $z_k=\sqrt[4]{|16i|}\left(\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k}{2}\pi\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k}{2}\pi\right)\right)$
[/mm]
also [mm] $z_k=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k}{2}\pi\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\pi}{8}+\frac{k}{2}\pi\right)\right)$
[/mm]
für k=0,1,2,3
Die Lösungen kannste nachher bei Bedarf wieder in Normalform darstellen.
Gruß
schachuzipus
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Ich weiß nicht wie du auf das arg(z) = [mm] \pi/8 [/mm] kommst.
Bitte , bitte sag es mir.
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Hi nochmal,
[mm] $arg(z^4) =arg(16i)=\frac{\pi}{2}$, [/mm] wie du oben auch glaube ich schon erwähnt hast in deinem 1.post
Damit ist [mm] $arg(z)=\frac{\frac{\pi}{2}}{4}=\frac{\pi}{8}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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