Lösung des Anfangswertproblems < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Sa 24.10.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
y`= [mm] \bruch{(x+1)y}{x}, [/mm] y(1)=1 |
Neues Thema bin mir unsicher bei der Durchführung:
Mein Lösungsweg:
y'= [mm] \bruch{(x+1)y}{x}, [/mm] y(1)=1
y´= -y [mm] +\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = -y [mm] +\bruch{y}{x} [/mm] / [mm] \*dx
[/mm]
dy = (-y+ [mm] \bruch{y}{x}) [/mm] dx / : y
[mm] \bruch{dy}{y} [/mm] = (-1 + [mm] \bruch{1}{x}) \* [/mm] dx
[mm] \integral \bruch{1}{y} \* [/mm] dy = [mm] \integral [/mm] (-1 [mm] +\bruch{1}{x}) [/mm] dx
ln y= -x + ln x +c / [mm] \* [/mm] e
y = - [mm] e^x [/mm] + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] e^c
[/mm]
y=1
1 = -e + 1 + [mm] e^c \Rightarrow [/mm] c =1
1=1
???
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Hallo StevieG,
> Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
>
> y'= [mm]\bruch{(x+1)y}{x},[/mm] y(1)=1
> Neues Thema bin mir unsicher bei der Durchführung:
>
>
> Mein Lösungsweg:
>
> y'= [mm]\bruch{(x+1)y}{x},[/mm] y(1)=1
>
> y´= -y [mm]+\bruch{y}{x}[/mm]
woher kommt das "-" beim y? Und wie kommt diese Umformung überhaupt zustande?
Du kannst doch (für [mm] $y\neq [/mm] 0$) direkt trennen und auf beiden Seiten durch y teilen.
Das gibt dir
[mm] $\frac{1}{y} [/mm] \ [mm] y'=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$
[/mm]
Mit [mm] $y'=\frac{dy}{dx}$ [/mm] gibt das
[mm] $\frac{1}{y} [/mm] \ dy \ = \ [mm] \left(1+\frac{1}{x}\right) [/mm] \ dx$
Integrieren auf beiden Seiten liefert:
[mm] $\ln(|y|)=x+\ln(x)+c$
[/mm]
Also [mm] $y=y(x)=\tilde{c}\cdot{}x\cdot{}e^x$
[/mm]
Nun die AWB einsetzen ...
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = -y [mm]+\bruch{y}{x}[/mm] / [mm]\*dx[/mm]
>
> dy = (-y+ [mm]\bruch{y}{x})[/mm] dx / : y
>
>
> [mm]\bruch{dy}{y}[/mm] = (-1 + [mm]\bruch{1}{x}) \*[/mm] dx
>
> [mm]\integral \bruch{1}{y} \*[/mm] dy = [mm]\integral[/mm] (-1
> [mm]+\bruch{1}{x})[/mm] dx
>
> ln y= -x + ln x +c / [mm]\*[/mm] e
>
> y = - [mm]e^x[/mm] + [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + [mm]e^c[/mm]
Der blöde VZF zieht sich leider durch, das [mm] $e^c$ [/mm] ist ja eine Konstante, die kannst du umtaufen in [mm] $\tilde [/mm] c$
Dann ergibt sich für [mm] $\tilde [/mm] c$ ??
>
> y=1
>
> 1 = -e + 1 + [mm]e^c \Rightarrow[/mm] c =1
>
> 1=1
>
>
> ???
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 24.10.2009 | | Autor: | StevieG |
Meinen Sie nicht eher y= y(x) = c + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] e^x
[/mm]
statt c [mm] \* \bruch{1}{x} \* e^x
[/mm]
Als Ergebnisse habe ich dann für C = - e ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo StevieG!
> Meinen Sie nicht eher y= y(x) = c + [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + [mm]e^x[/mm]
>
> statt c [mm]\* \bruch{1}{x} \* e^x[/mm]
Nein, das ist oben schon korrekt gerechnet worden. Denke an die  Logarithmusgesetze ...
Gruß
Loddar
PS: Du darfst hier im Forum alle mit "Du" anschreiben / anreden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Sa 24.10.2009 | | Autor: | StevieG |
Dh. AWP eingesetzt y=1
1 = [mm] \bruch{1}{e}\*1\*e \Rightarrow [/mm] c [mm] =\bruch{1}{e}
[/mm]
Richtig? oder habe ich das Prinzip nicht verstanden?
Lg
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Hallo!
> Dh. AWP eingesetzt y=1
>
> 1 = [mm]\bruch{1}{e}\*1\*e \Rightarrow[/mm] c [mm]=\bruch{1}{e}[/mm]
Ja, $c = [mm] \frac{1}{e}$ [/mm] ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> oder habe ich das Prinzip nicht verstanden?
Das weißt leider nur du selbst... 
Grüße,
Stefan
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