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| Aufgabe | | Berechnen Sie: [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{4-ln(x-2)}/(x-2) dx} [/mm] |
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{4-ln(x-2)}/(x-2) dx}
[/mm]
Hallo, habe erhebliche Defizite in Mathe die ich derzeit aufarbeite.
Bei diesem Integral hier bin ich mir unsicher.
Meine Lösung wäre:
1. Substitution u = x-2 du/dx = 1 -> dx = du
wird dann zu [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{4-ln(u)}/(u) du}
[/mm]
kann man hier jetzt einfach die Quotientenformel anwenden?
und ist die Ableitung von o so in Ordnung?
o = (4-lnu)^(1/2)
o´= 1/2 (4-lnu)^(-1/2)
p = u
p´= 1
o´p-p´o / p²
mit p² = 1
1/2(4-lnu)^(1/2)*u-(4-lnu)^(1/2) +C
mit u = x-2
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{4-ln(x-2)}/(x-2) dx} [/mm] = [mm] (x-2)/2\wurzel{4-ln(x-2)} [/mm] - [mm] \wurzel{4-ln(x-2)} [/mm] + C
ist das so korrekt, wenn nicht, wie macht man es richtig?
wenn ja, gibt es gegebenenfalls eine einfachere lösung?
bin für jede hilfe dankbar.
Ragna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Ragnaroek,
> Berechnen Sie: [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{4-ln(x-2)}/(x-2) dx}[/mm]
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> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{4-ln(x-2)}/(x-2) dx}[/mm]
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> Hallo, habe erhebliche Defizite in Mathe die ich derzeit
> aufarbeite.
>
> Bei diesem Integral hier bin ich mir unsicher.
>
> Meine Lösung wäre:
>
> 1. Substitution u = x-2 du/dx = 1 -> dx = du
>
> wird dann zu [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{4-ln(u)}/(u) du}[/mm]
Mit der Substitution ändern sich auch die Integrationsgrenzen.
>
> kann man hier jetzt einfach die Quotientenformel anwenden?
Nein.
Du kannst hier eine weitere Substitution anbringen.
> und ist die Ableitung von o so in Ordnung?
> o = (4-lnu)^(1/2)
> o´= 1/2 (4-lnu)^(-1/2)
>
> p = u
> p´= 1
>
> o´p-p´o / p²
> mit p² = 1
>
> 1/2(4-lnu)^(1/2)*u-(4-lnu)^(1/2) +C
>
> mit u = x-2
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{4-ln(x-2)}/(x-2) dx}[/mm] =
> [mm](x-2)/2\wurzel{4-ln(x-2)}[/mm] - [mm]\wurzel{4-ln(x-2)}[/mm] + C
>
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> ist das so korrekt, wenn nicht, wie macht man es richtig?
> wenn ja, gibt es gegebenenfalls eine einfachere lösung?
>
> bin für jede hilfe dankbar.
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> Ragna
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Müssen die Grenzen nicht nur dann geändert werden, wenn ich nicht rücksubstituiere?
Mal allgemein, ist eine Ableitung von [mm] (x-lnx)^1/2
[/mm]
wie folgt zu lösen?
u=x-lnx -> [mm] u^1/2 [/mm]
u´= 1/2 u^(1/2-1) = 1/2 u^(-1/2)
Rs: x´ = 1/2 (x-lnx)^(-1/2)
so korrekt?
Eine weitere Subsitution?
Was für eine?
Und warum geht das nicht mit der Quotientenregel?
Danke für die Hilfe.
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Huhu,
> Müssen die Grenzen nicht nur dann geändert werden, wenn
> ich nicht rücksubstituiere?
nein. Sonst kannst du nicht von einer Gleichheit reden!
Natürlich kannst du später wieder zurücksubstituieren, aber dann machst du einen zweiten falschen Schritt, der deinen ersten Fehler wieder ausgleicht.
Um Gleichheit zu haben, musst du die Grenzen ersetzen.
Das spart die übrigens auch die Rücksubstitution.
> Mal allgemein, ist eine Ableitung von [mm](x-lnx)^1/2[/mm]
> wie folgt zu lösen?
>
> u=x-lnx -> [mm]u^1/2[/mm]
>
> u´= 1/2 u^(1/2-1) = 1/2 u^(-1/2)
>
> Rs: x´ = 1/2 (x-lnx)^(-1/2)
>
> so korrekt?
Mal im ernst: Ohne Formeleditor ist mir das zu kompliziert zu lösen.
Schreibs sauber auf, dann können wir nochmal drüber reden.
Eine weitere Subsitution wäre $z=4 - [mm] \ln(u)$, [/mm] allerdings macht das auch die erste Substitution hinfällig.
Du kannst stattdessen gleich zu Anfang
$z = [mm] 4-\ln(x-2)$
[/mm]
substituieren und bist dann im nächsten Schritt fertig.
MFG,
Gono.
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Wie verhält es sich bei einem allgemeinen Integral?
Da kenne ich die Grenzen ja nicht.
Äh, ja. Sorry! Versuche es nochmal übersichtlicher:
also meine Frage war, wenn man dieses hier hat:
y(x) = [mm] \wurzel{4-lnx}
[/mm]
y(x) = [mm] (4-lnx)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Substitution u = 4-lnx
[mm] y(u)=u^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{du} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] u^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Rücksubstitution: u = 4-lnx
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (4-lnx)^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
ist das dann so richtig?
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Hallo Ragnaroek,
> Wie verhält es sich bei einem allgemeinen Integral?
> Da kenne ich die Grenzen ja nicht.
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> Äh, ja. Sorry! Versuche es nochmal übersichtlicher:
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> also meine Frage war, wenn man dieses hier hat:
>
> y(x) = [mm]\wurzel{4-lnx}[/mm]
> y(x) = [mm](4-lnx)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
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> Substitution u = 4-lnx
>
> [mm]y(u)=u^{\bruch{1}{2}}[/mm]
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> [mm]\bruch{dy}{du}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]u^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Rücksubstitution: u = 4-lnx
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm](4-lnx)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> ist das dann so richtig?
Nicht ganz.
Mit der Substitution hast Du eine verkettete Funktion:
[mm]y\left(x\right)= y\left( \ u\left(x\right) \ \right)[/mm]
Die Ableitung erfolgt dann mit der Kettenregel
Bei Deinen Ausführungen fehlt demnach die innere Ableitung u'(x).
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 So 19.12.2010 | | Autor: | Ragnaroek |
Ahh, okay klar.
Das Integral habe ich mittlerweile auch gelöst,
Danke Leute
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 So 19.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ragna!
In der Integration gibt es keine "Quotientenregel".
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 So 19.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
Versuche mal Wolframalpha.com - das berechnet dir praktische jedes Integral ob mit oder ohne Grenzen + zeigt wege der Substitution.
Gruss
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