Lösung des Systems < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die allg. Lösung des Systems
[mm] $\overset{.}{x} [/mm] = 4x+y+3z$
[mm] $\overset{.}{y} [/mm] = 2x+3y+3z$
[mm] $\overset{.}{z} [/mm] = -2x-y-z$
Gib die Gestalt einer partikulären Lösung des zugehörigen inhomogenen Systems mit Störfunktion
[mm] $(sin(t)+3e^{2t},sin(t),-2e^{2t})$
[/mm]
an |
Hallo :)
Ich dokumentiere mal meine bisherigen Resultate , die Frage stellt sich dann bei der inhomogenen Lsg.
Das charakteristische Polynom der zugehörigen Matrix lautet:
[mm] $-\lambda^3 +6\lambda^2 -12\Lambda [/mm] +8$ , Eigenwert [mm] $\lambda [/mm] = 3$
Sehen wir uns den Eigenraum $ER(2)$ an.
Also : [mm] $kern(A-2E_{3}$ [/mm] liefert die Eigenvektoren :
[mm] $v_{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{-1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $v_{2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{-3}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
und nach entsprechenden Berechnungen über den Hauptvektor dann endgültig:
[mm] $v_{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $\tilde{v_{2}} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $v_{3} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
weiters: $ f = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 0& 0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}$ [/mm] und $ [mm] e^{tf} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} e^{2t} & 0& 0 \\ 0&e^{2t}&te^{2t} \\ 0&0&e^{2t} \end{pmatrix}$
[/mm]
Die Wronski Matrix ist somit :
$ W(t) = [mm] \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2& 1 \\ 2&2e^{2t}&0 \\ 0&-2&0 \end{pmatrix}$
[/mm]
damti die allg. Lösung:
$ [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2& 1 \\ 2&2e^{2t}&0 \\ 0&-2&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \end{pmatrix} [/mm] $
Ich bin mir jetzt allerdings nicht sicher, welche die beste Variante wäre um eine Lösung des inh. Systems zu berechnen...
Habt ihr ein paar Vorschläge oder Tipps?
Beste Grüße und danke
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Bestimme die allg. Lösung des Systems
>
> [mm]\overset{.}{x} = 4x+y+3z[/mm]
> [mm]\overset{.}{y} = 2x+3y+3z[/mm]
>
> [mm]\overset{.}{z} = -2x-y-z[/mm]
>
> Gib die Gestalt einer partikulären Lösung des
> zugehörigen inhomogenen Systems mit Störfunktion
>
> [mm](sin(t)+3e^{2t},sin(t),-2e^{2t})[/mm]
>
> an
> Hallo :)
>
> Ich dokumentiere mal meine bisherigen Resultate , die Frage
> stellt sich dann bei der inhomogenen Lsg.
>
> Das charakteristische Polynom der zugehörigen Matrix
> lautet:
>
> [mm]-\lambda^3 +6\lambda^2 -12\Lambda +8[/mm] , Eigenwert [mm]\lambda = 3[/mm]
>
> Sehen wir uns den Eigenraum [mm]ER(2)[/mm] an.
>
> Also : [mm]kern(A-2E_{3}[/mm] liefert die Eigenvektoren :
>
> [mm]v_{1} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]v_{2} = \begin{pmatrix} \frac{-3}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und nach entsprechenden Berechnungen über den Hauptvektor
> dann endgültig:
>
> [mm]v_{1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\tilde{v_{2}} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]v_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> weiters: [mm]f = \begin{pmatrix} 2 & 0& 0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]e^{tf} = \begin{pmatrix} e^{2t} & 0& 0 \\ 0&e^{2t}&te^{2t} \\ 0&0&e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
>
Bis hierhin ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Wronski Matrix ist somit :
>
> [mm]W(t) = \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2& 1 \\ 2&2e^{2t}&0 \\ 0&-2&0 \end{pmatrix}[/mm]
>
Die Wronski-Matrix stimmt nicht.
> damti die allg. Lösung:
>
>
> [mm]\phi(t) = \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2& 1 \\ 2&2e^{2t}&0 \\ 0&-2&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \end{pmatrix}[/mm]
>
Und damit auch die allgemeine Lösung nicht.
> Ich bin mir jetzt allerdings nicht sicher, welche die beste
> Variante wäre um eine Lösung des inh. Systems zu
> berechnen...
>
> Habt ihr ein paar Vorschläge oder Tipps?
>
>
> Beste Grüße und danke
>
> Thomas
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
> Hallo Thomas_Aut,
>
> > Bestimme die allg. Lösung des Systems
> >
> > [mm]\overset{.}{x} = 4x+y+3z[/mm]
> > [mm]\overset{.}{y} = 2x+3y+3z[/mm]
> >
>
> > [mm]\overset{.}{z} = -2x-y-z[/mm]
> >
> > Gib die Gestalt einer partikulären Lösung des
> > zugehörigen inhomogenen Systems mit Störfunktion
> >
> > [mm](sin(t)+3e^{2t},sin(t),-2e^{2t})[/mm]
> >
> > an
> > Hallo :)
> >
> > Ich dokumentiere mal meine bisherigen Resultate , die Frage
> > stellt sich dann bei der inhomogenen Lsg.
> >
> > Das charakteristische Polynom der zugehörigen Matrix
> > lautet:
> >
> > [mm]-\lambda^3 +6\lambda^2 -12\Lambda +8[/mm] , Eigenwert [mm]\lambda = 3[/mm]
>
> >
> > Sehen wir uns den Eigenraum [mm]ER(2)[/mm] an.
> >
> > Also : [mm]kern(A-2E_{3}[/mm] liefert die Eigenvektoren :
> >
> > [mm]v_{1} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]v_{2} = \begin{pmatrix} \frac{-3}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > und nach entsprechenden Berechnungen über den Hauptvektor
> > dann endgültig:
> >
> > [mm]v_{1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > [mm]\tilde{v_{2}} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]v_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > weiters: [mm]f = \begin{pmatrix} 2 & 0& 0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}[/mm]
> > und [mm]e^{tf} = \begin{pmatrix} e^{2t} & 0& 0 \\ 0&e^{2t}&te^{2t} \\ 0&0&e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
>
>
> Bis hierhin ist alles richtig.
>
>
> > Die Wronski Matrix ist somit :
> >
> > [mm]W(t) = \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2& 1 \\ 2&2e^{2t}&0 \\ 0&-2&0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
>
>
> Die Wronski-Matrix stimmt nicht.
da hast du natürlich recht! es ist :
$ W(t) = [mm] \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2e^{2t}& 2te^{2t}+e^{2t} \\ 2e^{2t}&2e^{2t}&2te^{2t} \\ 0&-2e^{2t}&-2te^{2t} \end{pmatrix}$
[/mm]
>
>
> > damti die allg. Lösung:
> >
> >
> > [mm]\phi(t) = \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2& 1 \\ 2&2e^{2t}&0 \\ 0&-2&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
>
>
> Und damit auch die allgemeine Lösung nicht.
also somit:
[mm] $\phi(t) [/mm] = W(t) = [mm] \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2e^{2t}& 2te^{2t}+e^{2t} \\ 2e^{2t}&2e^{2t}&2te^{2t} \\ 0&-2e^{2t}&-2te^{2t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \end{pmatrix}$
[/mm]
>
>
> > Ich bin mir jetzt allerdings nicht sicher, welche die beste
> > Variante wäre um eine Lösung des inh. Systems zu
> > berechnen...
> >
> > Habt ihr ein paar Vorschläge oder Tipps?
> >
> >
> > Beste Grüße und danke
> >
> > Thomas
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
>
Gruß Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Hallo MathePower,
> > Hallo Thomas_Aut,
> >
> > > Bestimme die allg. Lösung des Systems
> > >
> > > [mm]\overset{.}{x} = 4x+y+3z[/mm]
> > > [mm]\overset{.}{y} = 2x+3y+3z[/mm]
>
> > >
> >
> > > [mm]\overset{.}{z} = -2x-y-z[/mm]
> > >
> > > Gib die Gestalt einer partikulären Lösung des
> > > zugehörigen inhomogenen Systems mit Störfunktion
> > >
> > > [mm](sin(t)+3e^{2t},sin(t),-2e^{2t})[/mm]
> > >
> > > an
> > > Hallo :)
> > >
> > > Ich dokumentiere mal meine bisherigen Resultate , die Frage
> > > stellt sich dann bei der inhomogenen Lsg.
> > >
> > > Das charakteristische Polynom der zugehörigen Matrix
> > > lautet:
> > >
> > > [mm]-\lambda^3 +6\lambda^2 -12\Lambda +8[/mm] , Eigenwert [mm]\lambda = 3[/mm]
>
> >
> > >
> > > Sehen wir uns den Eigenraum [mm]ER(2)[/mm] an.
> > >
> > > Also : [mm]kern(A-2E_{3}[/mm] liefert die Eigenvektoren :
> > >
> > > [mm]v_{1} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]v_{2} = \begin{pmatrix} \frac{-3}{2} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > und nach entsprechenden Berechnungen über den Hauptvektor
> > > dann endgültig:
> > >
> > > [mm]v_{1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> >
> > > [mm]\tilde{v_{2}} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
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> > >
> > > [mm]v_{3} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> > >
>
> > > weiters: [mm]f = \begin{pmatrix} 2 & 0& 0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}[/mm]
> > > und [mm]e^{tf} = \begin{pmatrix} e^{2t} & 0& 0 \\ 0&e^{2t}&te^{2t} \\ 0&0&e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
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> >
> > Bis hierhin ist alles richtig.
> >
> >
> > > Die Wronski Matrix ist somit :
> > >
> > > [mm]W(t) = \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2& 1 \\ 2&2e^{2t}&0 \\ 0&-2&0 \end{pmatrix}[/mm]
>
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> > Die Wronski-Matrix stimmt nicht.
>
> da hast du natürlich recht! es ist :
>
> [mm]W(t) = \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2e^{2t}& 2te^{2t}+e^{2t} \\ 2e^{2t}&2e^{2t}&2te^{2t} \\ 0&-2e^{2t}&-2te^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
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> > > damti die allg. Lösung:
> > >
> > >
> > > [mm]\phi(t) = \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2& 1 \\ 2&2e^{2t}&0 \\ 0&-2&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \end{pmatrix}[/mm]
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> >
> > Und damit auch die allgemeine Lösung nicht.
>
> also somit:
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> [mm]\phi(t) = W(t) = \begin{pmatrix} -e^{2t} & 2e^{2t}& 2te^{2t}+e^{2t} \\ 2e^{2t}&2e^{2t}&2te^{2t} \\ 0&-2e^{2t}&-2te^{2t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \end{pmatrix}[/mm]
>
Richtig.
> >
> >
> > > Ich bin mir jetzt allerdings nicht sicher, welche die beste
> > > Variante wäre um eine Lösung des inh. Systems zu
> > > berechnen...
> > >
> > > Habt ihr ein paar Vorschläge oder Tipps?
> > >
> > >
> > > Beste Grüße und danke
> > >
> > > Thomas
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> >
> Gruß Thomas
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
Hast du eine Empfehlung für die inhomogene Lösung? Irgendwie sieht mir das ganze nach Resonanz aus...
Es empfiehlt sich sicher mal eine Aufspaltung von
[mm] $\begin{pmatrix} sin(t) + 3e^{2t} \\ sin(t) \\ -2e^{2t} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} sin(t) \\ sin(t) \\0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} 3e^{2t} \\ 0 \\-2e^{2t} \end{pmatrix}$
[/mm]
wenn ich aber die Differenz von 1 und 3 Wronski-Spalte ansehe kommt nun genau ein Teil der Störfunktion raus - also wirkt das stark nach Resonanz.
Wie würdest du denn das Problem allg. lösen ? Kannst du mir einen Tipp geben?
Gruß und Dank
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> Hallo MathePower,
>
> Hast du eine Empfehlung für die inhomogene Lösung?
> Irgendwie sieht mir das ganze nach Resonanz aus...
>
> Es empfiehlt sich sicher mal eine Aufspaltung von
>
> [mm]\begin{pmatrix} sin(t) + 3e^{2t} \\ sin(t) \\ -2e^{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin(t) \\ sin(t) \\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3e^{2t} \\ 0 \\-2e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> wenn ich aber die Differenz von 1 und 3 Wronski-Spalte
> ansehe kommt nun genau ein Teil der Störfunktion raus -
> also wirkt das stark nach Resonanz.
>
> Wie würdest du denn das Problem allg. lösen ? Kannst du
> mir einen Tipp geben?
>
Der trigonometrische Teil der Störfunktion
sollte kein Problem hinsichtlich des Ansatzes darstellen.
Das Problem ist der Exponentialteil der Störfunktion
Hier ist zu prüfen, ob
[mm]\begin{pmatrix} 3e^{2t} \\ 0 \\-2e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
Lösung des homogenen Systems ist.
Dementsprechend ist dann der Ansatz für diese Inhomogenität zu wählen.
>
> Gruß und Dank
>
> Thomas
Gruss
MathePower
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> Hallo Thomas_Aut,
>
> > Hallo MathePower,
> >
> > Hast du eine Empfehlung für die inhomogene Lösung?
> > Irgendwie sieht mir das ganze nach Resonanz aus...
> >
> > Es empfiehlt sich sicher mal eine Aufspaltung von
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} sin(t) + 3e^{2t} \\ sin(t) \\ -2e^{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin(t) \\ sin(t) \\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3e^{2t} \\ 0 \\-2e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> >
> > wenn ich aber die Differenz von 1 und 3 Wronski-Spalte
> > ansehe kommt nun genau ein Teil der Störfunktion raus -
> > also wirkt das stark nach Resonanz.
> >
> > Wie würdest du denn das Problem allg. lösen ? Kannst du
> > mir einen Tipp geben?
> >
>
> Der trigonometrische Teil der Störfunktion
> sollte kein Problem hinsichtlich des Ansatzes darstellen.
>
> Das Problem ist der Exponentialteil der Störfunktion
> Hier ist zu prüfen, ob
>
> [mm]\begin{pmatrix} 3e^{2t} \\ 0 \\-2e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Lösung des homogenen Systems ist.
>
> Dementsprechend ist dann der Ansatz für diese
> Inhomogenität zu wählen.
du meinst also für den trigonometrischen Teil den Ansatz:
[mm] $\phi_{p1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \end{pmatrix}sin(t) [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} \beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \beta_{3} \end{pmatrix}cos(t) [/mm] $
aber für den exponentiellen Teil seh ich keinen Ansatz... hast du einen?
Wie gesagt da die Differenz der 1 und 3 Spalte der Wronski Matrix genau jener Teil der Störfunktion ist vermute ich , dass er bereits Lsg. des hom. Systems ist
>
>
> >
> > Gruß und Dank
> >
> > Thomas
>
>
> Gruss
> MathePower
Gruß
Thomas
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Hallo Thomas_Aut,
> > Hallo Thomas_Aut,
> >
> > > Hallo MathePower,
> > >
> > > Hast du eine Empfehlung für die inhomogene Lösung?
> > > Irgendwie sieht mir das ganze nach Resonanz aus...
> > >
> > > Es empfiehlt sich sicher mal eine Aufspaltung von
> > >
> > > [mm]\begin{pmatrix} sin(t) + 3e^{2t} \\ sin(t) \\ -2e^{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} sin(t) \\ sin(t) \\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3e^{2t} \\ 0 \\-2e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
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> > > wenn ich aber die Differenz von 1 und 3 Wronski-Spalte
> > > ansehe kommt nun genau ein Teil der Störfunktion raus -
> > > also wirkt das stark nach Resonanz.
> > >
> > > Wie würdest du denn das Problem allg. lösen ? Kannst du
> > > mir einen Tipp geben?
> > >
> >
> > Der trigonometrische Teil der Störfunktion
> > sollte kein Problem hinsichtlich des Ansatzes
> darstellen.
> >
> > Das Problem ist der Exponentialteil der Störfunktion
> > Hier ist zu prüfen, ob
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 3e^{2t} \\ 0 \\-2e^{2t} \end{pmatrix}[/mm]
> >
>
> > Lösung des homogenen Systems ist.
> >
> > Dementsprechend ist dann der Ansatz für diese
> > Inhomogenität zu wählen.
>
> du meinst also für den trigonometrischen Teil den Ansatz:
>
> [mm]\phi_{p1} = \begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \end{pmatrix}sin(t) + \begin{pmatrix} \beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \beta_{3} \end{pmatrix}cos(t)[/mm]
>
Richtig.
> aber für den exponentiellen Teil seh ich keinen Ansatz...
> hast du einen?
Nun, wenn der exponentielle Teil der Inhomogenität
keine Lösung des homogenen DGL-Systems ist
, dann lautet der Ansatz:
[mm]\phi_{p2}\left(t\right)=\pmat{\gamma_1 \\ \gamma_{2} \\ \gamma_3}}*e^{2*t}[/mm]
Ist der exponentielle Teil hingegen
Lösung des homogenen Systems.
so ist dieser Ansatz mit t zu multiplizieren:
[mm]\phi_{p2}\left(t\right)=\pmat{\gamma_1 \\ \gamma_{2} \\ \gamma_3}}*t*e^{2*t}[/mm]
Ob der exponentielle Anteil der Inhomgonenität
Lösung des homogenen DGL-Systems ist ,
prüfst Du einfach durch Einsetzen dieses
exponentiellen Teils in das homogene DGL-System.
>
> Wie gesagt da die Differenz der 1 und 3 Spalte der Wronski
> Matrix genau jener Teil der Störfunktion ist vermute ich ,
> dass er bereits Lsg. des hom. Systems ist
> >
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> > > Gruß und Dank
> > >
> > > Thomas
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> > Gruss
> > MathePower
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> Gruß
> Thomas
Gruss
MathePower
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