Lösung einer Gleichung bestimm < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] x^n [/mm] + nx - 1 = 0 für jedes n [mm] \in \IN [/mm] genau eine Lösung [mm] x_n [/mm] in [0, [mm] +\infty) [/mm] hat. Bestimmen Sie außerdem den Grenzwert der reellen Folge [mm] (x_n). [/mm] |
Hallo zusammen,
mein Beweis sieht bisher so aus:
Sei n [mm] \in \IN.
[/mm]
Definiere f: [0, [mm] +\infty) \to \IR [/mm] : x [mm] \to x^n [/mm] + nx - 1
Da es sich um ein Polynom handelt, ist es stetig auf ganz [mm] \IC, [/mm] also insbesondere auch auf [mm] \IR [/mm] und [0, [mm] +\infty).
[/mm]
Dann ist f(0) = -1 und für a := [mm] \bruch{1}{n} [/mm] f(a) = [mm] \bruch{1}{n^n} [/mm] > 0.
Insbesondere existiert dann wegen dem Zwischenwertsatz ein c [mm] \in [/mm] [0, [mm] +\infty), [/mm] s.d. f(c) = 0.
Bleibt noch die Eindeutigkeit von c zu zeigen.
Fassen wir f als Polynom auf.
Angenommen es ex. ein weiteres c' [mm] \in [/mm] [0, [mm] +\infty) [/mm] mit c [mm] \not= [/mm] c' , s.d. f(c') = 0.
Insbesondere sind dann c und c' Nullstellen von f, und somit lassen sich die Nullstellen abspalten, also:
[mm] \exists [/mm] Q(x) : f(x) = Q(x)*(x-c)
[mm] \exists [/mm] P(x) : f(x) = P(x)*(x-c')
[mm] \Rightarrow [/mm] f(c) = P(c) * (c-c') = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] P(c) = 0, da c [mm] \not= [/mm] c'
Also ist c eine Nullstelle von P, und es lässt sich wieder eine Nullstelle abspalten.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] P'(x) : P(x) = P'(x)*(x-c)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = P(x)*(x-c') = P'(x)(x-c)(x-c')
Verfahre analog mit f(x) = Q(x)*(x-c)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(c') = Q(c')*(c'-c) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Q(c') = 0
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] Q'(x) : Q(x) = Q'(x)*(x-c')
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = Q'(x)*(x-c')*(x-c)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = Q'(x)*(x-c')*(x-c) = P'(x)*(x-c')*(x-c)
[mm] \gdw [/mm] Q'(x) = P'(x)
Insbesondere sind die Koeffizienten von P' und Q' alle gleich.
[mm] \Rightarrow [/mm] Q(x) = Q'(x)*(x-c') = P'(x)*(x-c')
P(x) = P'(x)*(x-c) = Q'(x)*(x-c)
und die Werte von P und Q stimmen an n verschiedenen Stellen überein. [mm] \Rightarrow [/mm] P = Q.
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = Q(x)*(x-c) = P(x) * (x-c') = P(x) * (x-c)
[mm] \Rightarrow [/mm] c = c'
[mm] \Rightarrow [/mm] c = c'
[mm] \Rightarrow [/mm] Eindeutigkeit von c.
Nun weiß ich nicht, wie ich den Grenzwert der reellen Folge [mm] (x_n) [/mm] bestimmen soll.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo blackburn,
ich schreibe nur als Mitteilung, da ich nicht direkt auf deine Frage antworte.
Du willst die Eindeutigkeit von c zeigen. Es genügt meiner Meinung nach, wenn du zeigst, dass deine definierte Funktionenfolge [mm] f_n(x)=x^n+nx-1 [/mm] monoton wachsend auf [mm] [0,\infty) [/mm] ist.
Ich bin es eben mal schnell durchgegangen und das erscheint mir leichter und schneller.
Dies aber nur als Hinweis und möglichen neuen Ansatz und ist keineswegs als zielführende Lösung zu verstehen.
Beste Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 02.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm]x^n[/mm] + nx - 1 = 0 für jedes
> n [mm]\in \IN[/mm] genau eine Lösung [mm]x_n[/mm] in [0, [mm]+\infty)[/mm] hat.
> Bestimmen Sie außerdem den Grenzwert der reellen Folge
> [mm](x_n).[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> mein Beweis sieht bisher so aus:
>
> Sei n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Definiere f: [0, [mm]+\infty) \to \IR[/mm] : x [mm]\to x^n[/mm] + nx - 1
>
> Da es sich um ein Polynom handelt, ist es stetig auf ganz
> [mm]\IC,[/mm] also insbesondere auch auf [mm]\IR[/mm] und [0, [mm]+\infty).[/mm]
> Dann ist f(0) = -1 und für a := [mm]\bruch{1}{n}[/mm] f(a) =
> [mm]\bruch{1}{n^n}[/mm] > 0.
> Insbesondere existiert dann wegen dem Zwischenwertsatz ein
> c [mm]\in[/mm] [0, [mm]+\infty),[/mm] s.d. f(c) = 0.
>
> Bleibt noch die Eindeutigkeit von c zu zeigen.
> Fassen wir f als Polynom auf.
> Angenommen es ex. ein weiteres c' [mm]\in[/mm] [0, [mm]+\infty)[/mm] mit c
> [mm]\not=[/mm] c' , s.d. f(c') = 0.
>
> Insbesondere sind dann c und c' Nullstellen von f, und
> somit lassen sich die Nullstellen abspalten, also:
>
> [mm]\exists[/mm] Q(x) : f(x) = Q(x)*(x-c)
> [mm]\exists[/mm] P(x) : f(x) = P(x)*(x-c')
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(c) = P(c) * (c-c') = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] P(c) = 0, da c [mm]\not=[/mm] c'
>
> Also ist c eine Nullstelle von P, und es lässt sich wieder
> eine Nullstelle abspalten.
>
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] P'(x) : P(x) = P'(x)*(x-c)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = P(x)*(x-c') = P'(x)(x-c)(x-c')
>
> Verfahre analog mit f(x) = Q(x)*(x-c)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(c') = Q(c')*(c'-c) = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Q(c') = 0
>
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] Q'(x) : Q(x) = Q'(x)*(x-c')
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = Q'(x)*(x-c')*(x-c)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = Q'(x)*(x-c')*(x-c) = P'(x)*(x-c')*(x-c)
>
> [mm]\gdw[/mm] Q'(x) = P'(x)
>
> Insbesondere sind die Koeffizienten von P' und Q' alle
> gleich.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Q(x) = Q'(x)*(x-c') = P'(x)*(x-c')
> P(x) = P'(x)*(x-c) = Q'(x)*(x-c)
>
> und die Werte von P und Q stimmen an n verschiedenen
> Stellen überein. [mm]\Rightarrow[/mm] P = Q.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = Q(x)*(x-c) = P(x) * (x-c') = P(x) *
> (x-c)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] c = c'
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] c = c'
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Eindeutigkeit von c.
>
> Nun weiß ich nicht, wie ich den Grenzwert der reellen
> Folge [mm](x_n)[/mm] bestimmen soll.
1. Die Eindeutigkeit zeigt man, wie Richie es vorgeschlagen hat.
2. Du hast doch schon gezeigt, dass 0 [mm] \le x_n \le [/mm] 1/n ist. Was treibt dann [mm] (x_n) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] ?
FRED
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Hallo Richie und Fred,
für die Eindeutigkeit von c, muss ich aber zeigen, dass f streng monoton wachsend ist, oder nicht?
Das habe ich gerade getan, und daraus folgt, dann die Eindeutigkeit von c.
War denn aber mein Lösungsweg falsch?
Zu 2.)
Daran habe ich gar nicht mehr gedacht. Da dies ja für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt, folgt, dass [mm] (x_n) [/mm] eine Nullfolge ist.
Danke für eure Hilfe!
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