Lösung einer Ungleichung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Di 24.07.2007 | | Autor: | jura28 |
| Aufgabe | | Lösen sie die folgende Ungleichung: |x+3|/(2x-5)>3 |
Wie muss ich da vorgehen? Was muss ich beim Betragsstrich beachten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo jura28,
beim Betrag musst du eine Fallunterscheidung vornehmen, denn eine Betragsfunktion ist definiert durch
[mm] |x|=\begin{cases} x & \mbox{für } x \ge \mbox{0} \\ -x & \mbox{für } x \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
Das heißt: Ist der Ausdruck zwischen den Betragstrichen größer gleich null, so kann man die Betragsstriche einfach weglassen. Ist der Ausdruck zwischen den Betragstrichen kleiner als null, so muss man das Vorzeichen ändern.
Also ist es zur Lösung einer Ungleichung, in der Beträge vorkommen,auf Grund der Definition notwendig zu unterscheiden, ob der Ausdruck zwischen den Betragstrichen größer gleich oder kleiner als 0 ist. Beide Fälle müssen getrennt betrachtet werden. Die Gesamtlösung der Ungleichung ist die Vereinigung der Lösungsmengen der einzelnen Fälle.
In Deinem Beispiel:
[mm] \bruch{|x+3|}{(2x-5)} [/mm] > 3
musst du also unterscheiden zwischen
|x+3| [mm] \ge [/mm] 0
und |x+3| < 0
Schaffst Du es jetzt alleine oder brauchst du noch weitere Hilfe?
Gruß,
Anna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Di 24.07.2007 | | Autor: | jura28 |
Muss ich dann auch noch eine Fallunterscheidung machen bezüglich 2x-5, denn ich muss ja beide Seiten damit multiplizieren.
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Hallo jura28!
Du mußt hier ein Fallunterscheidung machen.
Grüße Martha.
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Hallo,
> Muss ich dann auch noch eine Fallunterscheidung machen
> bezüglich 2x-5, denn ich muss ja beide Seiten damit
> multiplizieren.
Nein, denn 2x-5 ist ja nicht in Betragsstrichen.
Beispiel für den 1. Fall von Deinen 2 Fallunterscheidungen:
Fall 1:
x+3 $ [mm] \ge [/mm] $ 0
x [mm] \ge [/mm] -3
$ [mm] \bruch{|x+3|}{(2x-5)} [/mm] $ > 3
$ [mm] \bruch{x+3}{(2x-5)} [/mm] $ > 3
Und dieses jetzt halt weiter ganz normal nach x auflösen
Dann das gleiche noch einmal für Fall 2: x+3 < 0
Gruß,
Anna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Di 24.07.2007 | | Autor: | jura28 |
Ich habe dann jetzt für mein x einmal x<18/5 und dann nochx>18/7 raus. Sind diese Ergebnisse richtig?
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Hallo jura!
Wenn Du Deine Ungleichung mit dem Term $2x-5_$ multiplizierst, musst Du auch eine entsprechende Fallunterscheidung machen, da sich für $2x-5 \ < \ 0$ das Ungleichheitszeichen umdreht.
Von daher stimmt Deine Lösung nicht. Du musst also insgesamt folgende 3 Fälle untersuchen:
1. $x \ < \ -3$
2. $-3 \ [mm] \le [/mm] \ x \ < \ [mm] \bruch{5}{2}$
[/mm]
3. [mm] $\bruch{5}{2} [/mm] \ < \ x$
Ich habe hier erhalten: [mm] $L_{x\in\IR} [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ \bruch{5}{2} \ < \ x \ < \ \bruch{18}{5} \ \right\}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo jura28!
Hier meine Lösung:
(5/2,18/5) für x+3>=0 und 2*x-5>0:
keine Lösung für x+3>=0 und 2*x-5<0;
keine Lösung für x+3<=0 und 2*x-5>0;
keine Lösung für x+3<=0 und 2*x-5<0;
Hoffe,daß ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Di 24.07.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Martha!
Wie kommst Du denn auf Deine 2. Teil-Lösung? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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