Lösung einer Zustandsgleichung < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Postbote |
Hallo zusammen,
ich bin noch in den Anfängen der Regelungstechnik, und habe nun bereits meine erste Frage.
Ich habe folgende 2 gekoppelte Diff.gleichungen:
z''(t)+2z'(t)+3w'(t)+4w(t)=0
2w''(t)+5w'(t)+6w(t)+z(t)=k*xe(t)
Nun möchte ich die Zusatndsgleichung x'=Ax+bxe berechnen,
wobei x=(z(t), w(t), z'(t), w'(t)) ^T ist.
Jetzt geht es mir nur um die Berechnung der Matrix A:
als Lösung ist gegeben:
0 0 1 0
0 0 0 1
0 -4 -2 -3
-0,5 -3 0 -2,5
Sorry, für die Schreibweise. Die untere beiden Zeilen leuchten mir ein.
Wie aber die ersten beiden Zeilen berechnet werden ist mir unklar.
Ich habe zb bei' der ersten Zeile nach z'(t) umgestellt; dabei kommen aber andere Werte raus.
Kann mir jemand explizit erklären, wie man auf die 0010 und 0001 kommt?
Darüber wäre ich sehr dankbar
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.techniker-forum.de (aber keine antwort erhalten)
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Hallo Postbote,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo zusammen,
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> ich bin noch in den Anfängen der Regelungstechnik, und
> habe nun bereits meine erste Frage.
>
> Ich habe folgende 2 gekoppelte Diff.gleichungen:
>
> z''(t)+2z'(t)+3w'(t)+4w(t)=0
> 2w''(t)+5w'(t)+6w(t)+z(t)=k*xe(t)
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> Nun möchte ich die Zusatndsgleichung x'=Ax+bxe berechnen,
> wobei x=(z(t), w(t), z'(t), w'(t)) ^T ist.
>
> Jetzt geht es mir nur um die Berechnung der Matrix A:
>
> als Lösung ist gegeben:
>
> 0 0 1 0
> 0 0 0 1
> 0 -4 -2 -3
> -0,5 -3 0 -2,5
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> Sorry, für die Schreibweise. Die untere beiden Zeilen
> leuchten mir ein.
> Wie aber die ersten beiden Zeilen berechnet werden ist mir
> unklar.
> Ich habe zb bei' der ersten Zeile nach z'(t) umgestellt;
> dabei kommen aber andere Werte raus.
>
> Kann mir jemand explizit erklären, wie man auf die 0010
> und 0001 kommt?
Das System von DGLn 2.Ordnung wurde in ein System 1. Ordnung überführt.
Dazu setzen wir:
[mm]z_{0}\left(t\right):=z\left(t\right)[/mm]
[mm]z_{1}\left(t\right):=z'\left(t\right)=z_{0}'\left(t\right)[/mm]
[mm]w_{0}\left(t\right):=w\left(t\right)[/mm]
[mm]w_{1}\left(t\right):=w'\left(t\right)=w_{0}'\left(t\right)[/mm]
Dann ist
[mm]w_{1}'\left(t\right)=-\bruch{5}{2}w_{1}(t)-3w_{0}(t)-\bruch{1}{2}z_{0}(t)+\bruch{1}{2}k*xe(t)[/mm]
[mm]z_{1}'\left(t\right)=-2z_{1}(t)-3w_{1}(t)-4w_{0}(t)[/mm]
Hinzu kommen dann noch die Gleichungen:
[mm]z_{0}'\left(t\right)=z_{1}\left(t\right)[/mm]
[mm]w_{0}'\left(t\right)=w_{1}\left(t\right)[/mm]
Damit ergibt sich für den Zustandsvektor [mm]\pmat{z_{0}\left(t\right),w_{0}\left(t\right),z_{1}\left(t\right),w_{1}\left(t\right)}^{T}[/mm]:
[mm]\pmat{z_{0}'\left(t\right) \\ w_{0}'\left(t\right) \\ z_{1}'\left(t\right) \\w_{1}'\left(t\right)}=\underbrace{\pmat{0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &0 & 1 \\ 0 & -4 & -2 & -3 \\ -\bruch{1}{2} & -3 & 0 & -\bruch{5}{2} }}_{=A}\pmat{z_{0}\left(t\right) \\ w_{0}\left(t\right) \\ z_{1}\left(t\right) \\ w_{1}\left(t\right)}+\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2}k*xe(t)}[/mm]
> Darüber wäre ich sehr dankbar
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: www.techniker-forum.de (aber keine
> antwort erhalten)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Postbote |
Vielen Dank für Deine Hilfe.
Eine kleine Frage hätte ich dennoch:
Wie kommst Du auf die letzen beiden Gleichungen?
$ [mm] z_{0}'\left(t\right)=z_{1}\left(t\right) [/mm] $
$ [mm] w_{0}'\left(t\right)=w_{1}\left(t\right) [/mm] $
Das ist mir bisher noch unklar.
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Hallo Postbote,
> Vielen Dank für Deine Hilfe.
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> Eine kleine Frage hätte ich dennoch:
>
> Wie kommst Du auf die letzen beiden Gleichungen?
>
> [mm]z_{0}'\left(t\right)=z_{1}\left(t\right)[/mm]
> [mm]w_{0}'\left(t\right)=w_{1}\left(t\right)[/mm]
>
Ein System von DGLn 1.Ordnung enthält nun mal
die Funktionen und deren 1. ABleitungen, daher auch
die Definition:
[mm]z_{0}\left(t\right):=z\left(t\right)[/mm]
[mm]z_{1}\left(t\right):=z'\left(t\right)=z_{0}'\left(t\right) [/mm]
[mm]w_{0}\left(t\right):=w\left(t\right) [/mm]
[mm]w_{1}\left(t\right):=w'\left(t\right)=w_{0}'\left(t\right) [/mm]
> Das ist mir bisher noch unklar.
>
Gruss
MathePower
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