Lösung eines LGS's < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Fr 14.09.2007 | | Autor: | mawiler |
| Aufgabe | Aus den Spaltenvektoren v1 v2 v2 wird eine Matrix A=(v1 v2 v2) gebildet. Lösen Sie das LGS.
A x = b für b (-11
20
-5)
(Zahlen in einer Spalte, in einer Klammer)
v1 = 1 + 2 + 3
v2 = 1 - 1 + 1
v3 = -4 + 7 -2 |
Hallo,
also ich habe eine Übungsaufgabe bei der ich irgendwie auf dem Schlauch stehe und nicht mehr weiter komme
Stimmt mein Ergebnis und was bedeutet die Lösung ?
Ich habe versucht dies wie folgt zu lösen:
1 1 -4 | -11
2 -1 7 | 20 Zeile 2 = Z2 - 2*(Z1)
3 1 -2 | -5 Zeile 3 = Z3 - 2*(Z1)
1 1 -4 | -10
0 -3 15 | 42
0 -2 10 | 28 Zeile 3 = 3 * Z3 - 2*(Z2)
1 1 -4 | -10
0 -3 15| 42
0 0 0 | -28
Danke vorab für jede Antwort 
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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> Aus den Spaltenvektoren v1 v2 v2 wird eine Matrix A=(v1 v2
> v2) gebildet. Lösen Sie das LGS.
>
> A x = b für b (-11
> 20
> -5)
> (Zahlen in einer Spalte, in einer Klammer)
>
> v1 = 1 + 2 + 3
> v2 = 1 - 1 + 1
> v3 = -4 + 7 -2
> Hallo,
>
> also ich habe eine Übungsaufgabe bei der ich irgendwie auf
> dem Schlauch stehe und nicht mehr weiter komme
Hallo,
ich vermute, daß Du versuchtest, so etwas zu schreiben:
Zu lösen ist das LGS
[mm] \pmat{ 1 & 1&-4 \\ 2 & -1&1\\ 3 & 1&-2}x=\vektor{-11 \\ 20\\-5}.
[/mm]
Gesucht ist also der Vektor [mm] x:=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}, [/mm] der das LGS löst.
>
> Stimmt mein Ergebnis und was bedeutet die Lösung ?
>
> Ich habe versucht dies wie folgt zu lösen:
>
> 1 1 -4 | -11
> 2 -1 7 | 20 Zeile 2 = Z2 - 2*(Z1)
> 3 1 -2 | -5 Zeile 3 = Z3 - 2*(Z1)
>
> 1 1 -4 | -10
> 0 -3 15 | 42
> 0 -2 10 | 28 Zeile 3 = 3 * Z3 - 2*(Z2)
>
> 1 1 -4 | -10
> 0 -3 15| 42
> 0 0 0 | -28
Die letzte Zeile ist verkehrt, sie müßte richtig heißen
0 0 0 | 0.
Aber die verkehrte Zeile ist wunderbar, um etwas daran zu lernen.
Nehmen wir mal an, sie wäre richtig.
Das würde bedeuten, daß die [mm] x_1,x_2,x_3, [/mm] welche das GS lösen, auch die Gleichung [mm] 0*x_1+0*x_2+0*x_3=-28 [/mm] erfüllen müssen. Da bekanntlich [mm] 0\not=28, [/mm] werden wir keine [mm] x_i [/mm] finden, die das tun. Das GS hätte also keine Lösung.
So, nun gucken wir den letzten Schritt an, so wie er richtig wäre:
1 1 -4 | -10
0 -3 15| 42
0 0 0 | 0.
Man kann nun noch die 2.Zeile durch -3 dividieren und hat dann die schönste Zeilenstufenform:
1 1 -4 | -10
0 1 -5| -14
0 0 0 | 0.
Dieses GS hat eine Lösung, denn der Rang der Matrix ist gleich dem Rang der erweiterten Matrix. (Die -28 ist ja nun fort.)
Der Rang der Matrix ist 2, wir haben aber drei Variable [mm] x_1,x_2,x_3.
[/mm]
Deshalb dürfen wir eine Variable völlig frei wählen.
Sagen wir
[mm] x_3:=t.
[/mm]
Aus Zeile 2 lesen wir ab:
[mm] 1*x_2 -5*x_3=-14, [/mm] also ist
[mm] x_2=-14+5*x-3=-14+5*t
[/mm]
Aus Zeile 1 lesen wir ab:
[mm] 1*x_1+1*x_2-4*x-3=-10, [/mm] also ist
[mm] x_1=-10 [/mm] - [mm] x_2 +4x_3=-10 [/mm] -(-14+5t)+4t=4+9t.
Schon zusammengestellt sieht unsere Lösung also so aus:
[mm] x_1=4+9t
[/mm]
[mm] x_2=-14+5t
[/mm]
[mm] x_3=t,
[/mm]
d.h. sämtliche x, die die Gleichung lösen, haben die Gestalt
[mm] x=\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=\vektor{4 \\ -14\\0}+t\vektor{9\\ 5\\1}.
[/mm]
Ich habe Dir das jetzt so ausführlich vorgerechnet, weil ich hoffe, daß Du Dir anhand dessen manche Fragen selbst beantworten kannst. Die dann noch offenen Fragen kannst du natürlich hier stellen.
Gruß v. Angela
P.S.: Unterhalb des Eingabefenstres findest Du den Formeleditor, mit welchem Du Dich vertraut machen solltest.
Wenn Du auf "Vorschau" drückst, siehst Du, wie Dein Post aussehen würde und kannst es ggf. noch verbessern.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Fr 14.09.2007 | | Autor: | mawiler |
Hallo nochmal,
vielen Dank für die Lösung.
Jetzt habe ich es verstanden.
MfG
Tobi
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