Lösung explodiert nicht < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Di 29.11.2011 | | Autor: | Roccoco |
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f:\IR\to \IR [/mm] sei stetig und es geben eine Konstante C>0 derart, dass für alle y>1 gilt:
[mm] 0\le f(y)\le [/mm] C y ln(y)
Zeigen Sie, dass für jedes [mm] y_0>1 [/mm] Lösungen des AWP
y'= f(y), [mm] y(0)=y_0
[/mm]
nicht explodieren, dh. dass jede auf [0,T) definierte Lösung beschränkt ist. Geben Sie eine explizite Schranke in Abhängigkeit von T>0 an.
Hinweis: [mm] \bruch{d}{dy}ln [/mm] ln y= [mm] \bruch{1}{y ln y} [/mm] für y >1 |
Hallo Forum,
ich sitze jetzt seit geraumer Zeit an dieser Aufgabe und drehe mich im Kreis :-/
Wenn ich jetzt mal die Aufgabe übersetze habe ich folgendes aufgeschrieben:
f stetig, C>0
Für alle y>1
[mm] 0\le f(y)\le [/mm] C y ln(y)
y'=f(y) [mm] y(0)=y_0>1 [/mm]
und x [mm] \in [/mm] [0,T)
So jetzt habe ich folgendes ausprobiert:
[mm] 0\le f(y)\le [/mm] C y ln(y)
[mm] \gdw 0\le [/mm] f(y) [mm] \bruch{1}{y ln(y)}\le [/mm] C
[mm] \gdw 0\le f(y)\bruch{d }{dy}ln(ln(y))\le [/mm] C
[mm] \gdw 0\le \bruch{dy}{dx}\bruch{d}{dy}ln(ln(y))\le [/mm] C
[mm] \gdw 0\le \bruch{d}{dx}ln(ln(y))\le [/mm] C
[mm] \gdw 0\le [/mm] y' [mm] \bruch{1}{y ln y}\le [/mm] C
hmm und hier gehts wieder von vorne los?
Wäre über Hilfe seeehr dankbar :)
Beste Grüße
Roccoco
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Hallo,
> Die Funktion [mm]f:\IR\to \IR[/mm] sei stetig und es geben eine
> Konstante C>0 derart, dass für alle y>1 gilt:
>
> [mm]0\le f(y)\le[/mm] C y ln(y)
>
> Zeigen Sie, dass für jedes [mm]y_0>1[/mm] Lösungen des AWP
>
> y'= f(y), [mm]y(0)=y_0[/mm]
>
> nicht explodieren, dh. dass jede auf [0,T) definierte
> Lösung beschränkt ist. Geben Sie eine explizite Schranke
> in Abhängigkeit von T>0 an.
>
> Hinweis: [mm]\bruch{d}{dy}ln[/mm] ln y= [mm]\bruch{1}{y ln y}[/mm] für y >1
> Hallo Forum,
>
> ich sitze jetzt seit geraumer Zeit an dieser Aufgabe und
> drehe mich im Kreis :-/
>
> Wenn ich jetzt mal die Aufgabe übersetze habe ich
> folgendes aufgeschrieben:
>
> f stetig, C>0
>
> Für alle y>1
> [mm]0\le f(y)\le[/mm] C y ln(y)
>
> y'=f(y) [mm]y(0)=y_0>1[/mm]
>
>
> und x [mm]\in[/mm] [0,T)
Diese Aufgabe erinnert mich stark an das klassische ![[]](/images/popup.gif) Gronwall Lemma, welches trotz seiner Einfachheit eine fundamentale Bedeutung in der Theorie der gewöhnlichen und der partiellen Diffgleichungen hat.
Ich denke, man kann hier einen analogen Beweis führen.
Betrachte zunächst das AWP
[mm]v'=Cv\ln v[/mm]
mit [mm] $v(0)=y_0$ [/mm] (Dieses AWP spiegelt so etwas wie den worst case wieder, da die obere grenze für f angenommen wird).
Mit Hilfe des gegebenen Hinweises und Trennung der Variablen kannst Du das AWP recht leicht lösen. Dann verfahre weiter wie im Beweis des Gronwall Lemmas, betrachte
[mm]\frac{d}{dt}\frac{y}{v}[/mm]
sowie
[mm] \frac{y(t)}{v(t)}
[/mm]
und führe geeignete Abschätzungen durch. Sollte funktionieren.
Gruss
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Roccoco |
Hallo Matthias,
> Diese Aufgabe erinnert mich stark an das klassische
> Gronwall Lemma,
> welches trotz seiner Einfachheit eine fundamentale
> Bedeutung in der Theorie der gewöhnlichen und der
> partiellen Diffgleichungen hat.
> Ich denke, man kann hier einen analogen Beweis führen.
> Betrachte zunächst das AWP
>
> [mm]v'=Cv\ln v[/mm]
>
> mit [mm]v(0)=y_0[/mm] (Dieses AWP spiegelt so etwas wie den worst
> case wieder, da die obere grenze für f angenommen wird).
>
> Mit Hilfe des gegebenen Hinweises und Trennung der
> Variablen kannst Du das AWP recht leicht lösen. Dann
> verfahre weiter wie im Beweis des Gronwall Lemmas,
> betrachte
>
> [mm]\frac{d}{dt}\frac{y}{v}[/mm]
>
> sowie
>
> [mm]\frac{y(t)}{v(t)}[/mm]
>
> und führe geeignete Abschätzungen durch. Sollte
> funktionieren.
>
Also ich habe erstmal v' = Cyln(y) gelöst mit [mm] v(0)=y_0
[/mm]
Dann komme ich auf
[mm] v(x)=e^e^{cx+ln(ln(y_0))}
[/mm]
Was meinst du jetzt genau mit
[mm] \bruch{d}{dt} \bruch{y}{v} [/mm] betrachten?
Den Zusammenhang zum gronwalllemma kann ich nicht nachvollziehen :/
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!
Grüße
Roccoco
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Hallo Roccoco ,
> Hallo Matthias,
>
> > Diese Aufgabe erinnert mich stark an das klassische
> >
> Gronwall Lemma,
> > welches trotz seiner Einfachheit eine fundamentale
> > Bedeutung in der Theorie der gewöhnlichen und der
> > partiellen Diffgleichungen hat.
> > Ich denke, man kann hier einen analogen Beweis führen.
> > Betrachte zunächst das AWP
> >
> > [mm]v'=Cv\ln v[/mm]
> >
> > mit [mm]v(0)=y_0[/mm] (Dieses AWP spiegelt so etwas wie den worst
> > case wieder, da die obere grenze für f angenommen wird).
> >
> > Mit Hilfe des gegebenen Hinweises und Trennung der
> > Variablen kannst Du das AWP recht leicht lösen. Dann
> > verfahre weiter wie im Beweis des Gronwall Lemmas,
> > betrachte
> >
> > [mm]\frac{d}{dt}\frac{y}{v}[/mm]
> >
> > sowie
> >
> > [mm]\frac{y(t)}{v(t)}[/mm]
> >
> > und führe geeignete Abschätzungen durch. Sollte
> > funktionieren.
> >
> Also ich habe erstmal v' = Cyln(y) gelöst mit [mm]v(0)=y_0[/mm]
> Dann komme ich auf
>
> [mm]v(x)=e^e^{cx+ln(ln(y_0))}[/mm]
>
> Was meinst du jetzt genau mit
>
>
> [mm]\bruch{d}{dt} \bruch{y}{v}[/mm] betrachten?
>
> Den Zusammenhang zum gronwalllemma kann ich nicht
> nachvollziehen :/
ich bin mit meiner antwort vielleicht ein bisschen über das ziel hinausgeschossen. Bei genauerem hinsehen habe ich auch festgestellt, dass man nicht ohne weiteres wie beim gronwall lemma weiter vorgehen kann.
allerdings muss man das wohl auch gar nicht, denn eigentlich sollte die Lösung v des von mir vorgeschlagenen AWPs schon so eine Majorante für die lösung y des ursprünglichen AWPs sein. Die Funktion $f$ und somit die ableitung der lösung ist nichtnegativ und nach oben majorisiert. Also muss auch y durch v majorisiert sein.
gruss
Matthias
EDIT: Das v eine Majorante von y ist, müsste noch etwas sauberer argumentiert werden. Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass es so ist.
> Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!
> Grüße
> Roccoco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Roccoco |
Hallo Matthias,
> ich bin mit meiner antwort vielleicht ein bisschen über
> das ziel hinausgeschossen. Bei genauerem hinsehen habe ich
> auch festgestellt, dass man nicht ohne weiteres wie beim
> gronwall lemma weiter vorgehen kann.
>
> allerdings muss man das wohl auch gar nicht, denn
> eigentlich sollte die Lösung v des von mir vorgeschlagenen
> AWPs schon so eine Majorante für die lösung y des
> ursprünglichen AWPs sein. Die Funktion [mm]f[/mm] und somit die
> ableitung der lösung ist nichtnegativ und nach oben
> majorisiert. Also muss auch y durch v majorisiert sein.
>
Meinst du dann dass,
[mm] 0\le f(y)=y'\le Cylny\le v(x)=e^{e^{cx*d}} [/mm] ?
Aber wie krieg ich denn nu mein T dort rein? Es soll ja eine Schranke in Abhängigkeit von T angegeben werden?
Wäre über alle Tipps dankbar :)
Grüße
Roccoco
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Hallo Roccoco,
ich versuche jetzt nochmal so etwas wie eine abschliessende antwort... 
Gegeben hast Du ja eine Abschätzung der art
[mm]y'\le C y\ln y[/mm].
Erschlagen könnte man diese aufgabe mit einer nichtlinearen Variante des gronwall lemmas, der sogenannten Ungleichung von Bihari.
Dies ist aber vermutlich nicht der Sinn der sache, deshalb muss man sich einen beweis für diese spezielle aufgabe überlegen.
die einzige idee, die mir seit gestern gekommen ist, ist einfach so etwas wie trennung der variablen mit ungleichheitszeichen.
Du hast ja
[mm]dy/dt \le C y\ln y[/mm]
daraus folgt (für $y>1$)
[mm]\frac{dy}{y\ln y} \le C dt[/mm]
Du kannst jetzt integrieren, und aufgrund der monotonie des integrals bleibt die ungleichung erhalten.
[mm]\int_{y_0}^y \frac{dy}{y\ln y} \le C\int_0^t dt [/mm]
Mit hilfe des hinweises kannst Du nun deine abschätzung für y herleiten.
Eine lösung des AWPs, die auf [0,T) existiert, kannst Du dann durch die obige ungleichung für y abschätzen. Sie explodiert also nicht nach oben (dh. es gibt keinen pol), auch wenn durch die doppelte exponentialfunktion gigantisch grosse werte auf der rechten seite der abschätzung stehen.
Da $f(y)$ nichtnegativ ist und [mm] y_0>1, [/mm] muss y>1 bleiben und daher ist die lösung sowieso nach unten beschränkt.
ich hoffe, langsam wird alles etwas klarer!
gruss
matthias
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