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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 So 27.09.2015 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Löse die folgende Gleichung für paarweise verschiedene $x,y,z [mm] \in \IN$ [/mm]
$3(xy+xz+yz) = xyz+3(x+y+z)-1$ |
Da ich keine Lösung gefunden habe - habe ich versucht, mit geom.-Arith Ungleichung zu zeigen, dass es keine Lösung gibt, was mir aber auch nicht gelang.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 So 27.09.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo wauwau,
die Gleichung ist offensichtlich erfüllt für x=y=z=1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 So 27.09.2015 | | Autor: | wauwau |
Habe nun die Aufgabe korrigiert, denn die x,y,z sollten paarweise verschieden sein!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 So 27.09.2015 | | Autor: | rmix22 |
Es wird dir nicht gelingen, zu zeigen, dass es keine Lösungen gibt.
Mit brute force hab ich
"x" "y" "z"
4 10 79
4 11 44
4 14 23
4 16 19
5 7 35
gefunden, wobei hier x<y<z gilt. Jede Permutation eines solchen Tripels ist aufgrund der Symmetrie des zu erfüllenden Terms natürlich auch Lösung.
RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Mo 28.09.2015 | | Autor: | wauwau |
Super danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mo 28.09.2015 | | Autor: | wauwau |
jetzt drängt sich zusätzlich die Frage auf, ob es auch Lösungen gibt, wo x,y,z alle prim, oder zumindest paarweise prim sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 28.09.2015 | | Autor: | rmix22 |
> jetzt drängt sich zusätzlich die Frage auf, ob es auch
> Lösungen gibt, wo x,y,z alle prim, oder zumindest
> paarweise prim sind.
Nun, mir drängt sich diese Frage nicht auf 
Aber ich denke, dass es außer den genannten 5 Lösungen und ihren Permutationen keine weiteren mehr gibt.
Der Beweis sei dem geneigten Leser überlassen.
RMix
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Außer der Lösung 1,1,1 und den von dir genannten gibt es keine weiteren.
Wenn man x=a+3, y=b+3 und z=c+3 setzt, vereinfacht sich die Gleichung zu abc -6(a+b+c) = 28, wobei a, b und c > -3 sein müssen.
Diese Gleichung lässt sich z.B. nach [mm] b=\bruch{28+6a+6c}{ac-6} [/mm] umstellen.
Damit b eine natürliche Zahl ist, muss der Betrag des Zählers größer oder gleich dem Betrag des Nenners sein.
Werden a und c beide größer als 15, also a=15+k und b=15+r, k und r [mm] \in \IN, [/mm] so wird 0< [mm] b=\bruch{208+6k+6r}{219+15k+15r+kr}<1, [/mm] und es gibt keine Lösung mehr.
Also muss eine der Variablen a oder c [mm] \le [/mm] 15 bleiben. Wegen der Symmetrie der Ausgangsgleichung kann man diese Argumentation aber auch auf das Paar a und b oder auf das Paar b und c anwenden. Deshalb gilt: Maximal eine der drei Werte a, b oder c kann > 15 werden. Dazu wähle man b aus.
Mustert man nun für a von -2 bis 15 alle Brüche für b durch, die auf ganze Zahlen >-2 führen, wenn man für c passende Werte aus dem Bereich von -2 bis 15 einsetzt, so erhält man alle Lösungen. Mit einem einfachen Computerprogramm findet man dann die oben genannten, wobei bis auf 1,1,1 jede Lösung mindestens ein Paar enthält, das nicht nur keine Primzahl enthält, sondern auch noch einen ggt>1 hat. Einzige Ausnahme ist 5,7,35 mit dem Primzahlpärchen 5,7.
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