Lösung konvergent < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Seien a,b: [mm] [0,\infty)\to [0,\infty) [/mm] stetig und sei
A(t) = [mm] \pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }.
[/mm]
Betrachte x' = A(t)x, x(0) = [mm] \vektor{z_{1} \\ z_{2}} [/mm]
für [mm] z_{1} [/mm] + [mm] z_{2} [/mm] = 0 und [mm] z_{1} \not= z_{2}
[/mm]
a) Zeigen Sie: die Lösung x konvergiert genau dann für t [mm] \to \infty [/mm] gegen 0, wenn
[mm] F:[0,\infty) \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto \integral_{t}^{0}{a(s) +b(s) ds} [/mm] unbeschränkt ist.
Ich habe leider keinen Ansatz, könnt ihr mir weiter helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien a,b: [mm][0,\infty)\to [0,\infty)[/mm] stetig und sei
>
> A(t) = [mm]\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }.[/mm]
>
> Betrachte x' = A(t)x, x(0) = [mm]\vektor{z_{1} \\ z_{2}}[/mm]
>
> für [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{2}[/mm] = 0 und [mm]z_{1} \not= z_{2}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie: die Lösung x konvergiert genau dann für t
> [mm]\to \infty[/mm] gegen 0, wenn
>
> [mm]F:[0,\infty) \to \IR,[/mm] t [mm]\mapsto \integral_{t}^{0}{a(s) +b(s) ds}[/mm]
> unbeschränkt ist.
>
>
> Ich habe leider keinen Ansatz, könnt ihr mir weiter
> helfen?
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
man sieht sofort:
x'(t)=-y'(t),
also:
y(t)=-x(t)+c.
Wegen [mm] z_2=y(0)=-x(0)+c=-z_1+c [/mm] und [mm] z_1+z_2=0 [/mm] ist c=0.
Damit haben wir:
x'(t)+(a(t)+b(t))x(t)=0 und [mm] x(0)=z_1.
[/mm]
Löse dieses Anfangswertproblem.
fred
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Do 23.05.2013 | | Autor: | Pia90 |
Ich beschäftige mich zurzeit ebenfalls mit dieser Aufgabe.
>
> man sieht sofort:
>
> x'(t)=-y'(t),
Dies sieht man doch anhand der Matrix, oder? In der Hinsicht ist mir das klar. Ich wollte das allerdings gerade kurz aufschreiben, doch das gelingt mir noch nicht so ganz... Das x'(t) hier entspricht nicht dem x aus der Aufgabenstellung, oder? Wenn doch, dann ist es mir vielleicht doch noch nicht so ganz klar...
Laut Aufgabenstellung ist ja x' = [mm] A(t)x=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) } [/mm] x
Dazu habe ich mir nun überlegt, dass mit [mm] x=\vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] das ganze nun
x' = [mm] A(t)x=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) } [/mm] x= [mm] \vektor{-a(t)x_1 +b(t)x_2 \\ a(t)x_1 - b(t)x_2} [/mm] ist.
und da seh ich ja nun, dass die eine Komponente einfach das negative der anderen ist und kann folglich sagen, dass
[mm] x_1'(t)=x_2'(t)
[/mm]
So ist das gemeint, oder? Also wäre das so korrekt?
>
> also:
>
> y(t)=-x(t)+c.
>
> Wegen [mm]z_2=y(0)=-x(0)+c=-z_1+c[/mm] und [mm]z_1+z_2=0[/mm] ist c=0.
>
> Damit haben wir:
>
> x'(t)+(a(t)+b(t))x(t)=0 und [mm]x(0)=z_1.[/mm]
>
>
>
> Löse dieses Anfangswertproblem.
>
> fred
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich beschäftige mich zurzeit ebenfalls mit dieser
> Aufgabe.
>
> >
> > man sieht sofort:
> >
> > x'(t)=-y'(t),
>
> Dies sieht man doch anhand der Matrix, oder? In der
> Hinsicht ist mir das klar. Ich wollte das allerdings gerade
> kurz aufschreiben, doch das gelingt mir noch nicht so
> ganz... Das x'(t) hier entspricht nicht dem x aus der
> Aufgabenstellung, oder? Wenn doch, dann ist es mir
> vielleicht doch noch nicht so ganz klar...
nein - Fred hat sowas wie [mm] $\text{x}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}$ [/mm] gemeint (ist keine schöne Notation
hier)!
> Laut Aufgabenstellung ist ja x' = [mm]A(t)x=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }[/mm]
> x
>
> Dazu habe ich mir nun überlegt, dass mit [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> das ganze nun
> x' = [mm]A(t)x=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }[/mm] x=
> [mm]\vektor{-a(t)x_1 +b(t)x_2 \\ a(t)x_1 - b(t)x_2}[/mm] ist.
> und da seh ich ja nun, dass die eine Komponente einfach
> das negative der anderen ist und kann folglich sagen, dass
> [mm]x_1'(t)=x_2'(t)[/mm]
Du sagst es richtig, in der Gleichung fehlt aber ein Minus
[mm] $x_1'(t)=\red{\text{ -- }}x_2'(t)\,.$
[/mm]
> So ist das gemeint, oder? Also wäre das so korrekt?
Klar - Du überzeugst Dich doch mit Deiner eigenen Rechnung davon! 
Nebenbei:
Fred hat das "sofort" gesehen, weil
[mm] $$A(t)=\vektor{a_1(t)\\a_2(t)}=\vektor{a_1(t)\\\;-\;a_1(t)}\,.$$
[/mm]
Die zweite Zeile von [mm] $A\,$ [/mm] ist also einfach das Negative der ersten!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 23.05.2013 | | Autor: | Pia90 |
> Hallo,
>
> > Ich beschäftige mich zurzeit ebenfalls mit dieser
> > Aufgabe.
> >
> > >
> > > man sieht sofort:
> > >
> > > x'(t)=-y'(t),
> >
> > Dies sieht man doch anhand der Matrix, oder? In der
> > Hinsicht ist mir das klar. Ich wollte das allerdings gerade
> > kurz aufschreiben, doch das gelingt mir noch nicht so
> > ganz... Das x'(t) hier entspricht nicht dem x aus der
> > Aufgabenstellung, oder? Wenn doch, dann ist es mir
> > vielleicht doch noch nicht so ganz klar...
>
> nein - Fred hat sowas wie [mm]\text{x}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}[/mm]
> gemeint (ist keine schöne Notation
> hier)!
>
> > Laut Aufgabenstellung ist ja x' = [mm]A(t)x=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }[/mm]
> > x
> >
> > Dazu habe ich mir nun überlegt, dass mit [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> > das ganze nun
> > x' = [mm]A(t)x=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }[/mm] x=
> > [mm]\vektor{-a(t)x_1 +b(t)x_2 \\ a(t)x_1 - b(t)x_2}[/mm] ist.
> > und da seh ich ja nun, dass die eine Komponente einfach
> > das negative der anderen ist und kann folglich sagen, dass
> > [mm]x_1'(t)=x_2'(t)[/mm]
>
> Du sagst es richtig, in der Gleichung fehlt aber ein Minus
>
> [mm]x_1'(t)=\red{\text{ -- }}x_2'(t)\,.[/mm]
>
> > So ist das gemeint, oder? Also wäre das so korrekt?
>
> Klar - Du überzeugst Dich doch mit Deiner eigenen
> Rechnung davon!
>
> Nebenbei:
> Fred hat das "sofort" gesehen, weil
> [mm]A(t)=\vektor{a_1(t)\\a_2(t)}=\vektor{a_1(t)\\\;-\;a_1(t)}\,.[/mm]
> Die zweite Zeile von [mm]A\,[/mm] ist also einfach das Negative der
> ersten!
>
> Gruß,
> Marcel
Vielen, vielen Dank!
Dann habe ich noch eine weitere Frage bezüglich Freds Tipps
"man sieht sofort:
x'(t)=-y'(t),
also:
y(t)=-x(t)+c.
Wegen $ [mm] z_2=y(0)=-x(0)+c=-z_1+c [/mm] $ und $ [mm] z_1+z_2=0 [/mm] $ ist c=0.
Damit haben wir:
x'(t)+(a(t)+b(t))x(t)=0 und $ [mm] x(0)=z_1. [/mm] $
Löse dieses Anfangswertproblem. "
Und zwar verstehe ich noch nicht ganz wie wir auf das "Damit haben wir" kommen...
Ist das jetzt wieder das Ausgangs-x oder die erste Komponente des Vektors?
Also wäre das im Grunde
[mm] x_1'(t)+(a(t)+b(t))x_1(t)=0 [/mm] und $ [mm] x_1(0)=z_1, [/mm] wenn [mm] x'(t)=\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}?
[/mm]
Also der Schritt ist mir irgendwie noch nicht ganz klar...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Ich beschäftige mich zurzeit ebenfalls mit dieser
> > > Aufgabe.
> > >
> > > >
> > > > man sieht sofort:
> > > >
> > > > x'(t)=-y'(t),
> > >
> > > Dies sieht man doch anhand der Matrix, oder? In der
> > > Hinsicht ist mir das klar. Ich wollte das allerdings gerade
> > > kurz aufschreiben, doch das gelingt mir noch nicht so
> > > ganz... Das x'(t) hier entspricht nicht dem x aus der
> > > Aufgabenstellung, oder? Wenn doch, dann ist es mir
> > > vielleicht doch noch nicht so ganz klar...
> >
> > nein - Fred hat sowas wie [mm]\text{x}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}[/mm]
> > gemeint (ist keine schöne Notation
> > hier)!
> >
> > > Laut Aufgabenstellung ist ja x' = [mm]A(t)x=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }[/mm]
> > > x
> > >
> > > Dazu habe ich mir nun überlegt, dass mit [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> > > das ganze nun
> > > x' = [mm]A(t)x=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }[/mm] x=
> > > [mm]\vektor{-a(t)x_1 +b(t)x_2 \\ a(t)x_1 - b(t)x_2}[/mm] ist.
> > > und da seh ich ja nun, dass die eine Komponente
> einfach
> > > das negative der anderen ist und kann folglich sagen, dass
> > > [mm]x_1'(t)=x_2'(t)[/mm]
> >
> > Du sagst es richtig, in der Gleichung fehlt aber ein Minus
> >
> > [mm]x_1'(t)=\red{\text{ -- }}x_2'(t)\,.[/mm]
> >
> > > So ist das gemeint, oder? Also wäre das so korrekt?
> >
> > Klar - Du überzeugst Dich doch mit Deiner eigenen
> > Rechnung davon!
> >
> > Nebenbei:
> > Fred hat das "sofort" gesehen, weil
> >
> [mm]A(t)=\vektor{a_1(t)\\a_2(t)}=\vektor{a_1(t)\\\;-\;a_1(t)}\,.[/mm]
> > Die zweite Zeile von [mm]A\,[/mm] ist also einfach das Negative
> der
> > ersten!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Vielen, vielen Dank!
>
> Dann habe ich noch eine weitere Frage bezüglich Freds
> Tipps
> "man sieht sofort:
>
> x'(t)=-y'(t),
>
> also:
>
> y(t)=-x(t)+c.
>
> Wegen [mm]z_2=y(0)=-x(0)+c=-z_1+c[/mm] und [mm]z_1+z_2=0[/mm] ist c=0.
>
> Damit haben wir:
>
> x'(t)+(a(t)+b(t))x(t)=0 und [mm]x(0)=z_1.[/mm]
>
>
>
> Löse dieses Anfangswertproblem. "
>
> Und zwar verstehe ich noch nicht ganz wie wir auf das
> "Damit haben wir" kommen...
> Ist das jetzt wieder das Ausgangs-x oder die erste
> Komponente des Vektors?
Fred hat nur einmal ein ungünstige Notation der Art [mm] $\text{x}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}$ [/mm] gewählt.
Der will niemanden hiermit ärgern - im Prinzip hat er das ja auch noch nicht
mal so hingeschrieben, er hat einfach nur nicht beachtet, dass da anfangs
[mm] $x'(t)=A...\,$ [/mm] steht, und [mm] $x\,$ [/mm] schon als "Vektorvariable" verwendet wird!
Also: [mm] $x(t)\,$ [/mm] ist bei ihm IMMER die erste Komponente, [mm] $y(t)\,$ [/mm] IMMER die zweite:
$x [mm] \;\hat{=}\;x_1$ [/mm] und $y [mm] \;\hat{=}\;x_2\,.$
[/mm]
> Also wäre das im Grunde
> [mm]x_1'(t)+(a(t)+b(t))x_1(t)=0[/mm] und $ [mm]x_1(0)=z_1,[/mm] wenn
> [mm]x'(t)=\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}?[/mm]
Ja!
> Also der Schritt ist mir
> irgendwie noch nicht ganz klar...
Wieso? Er hat vorher [mm] $c=0\,$ [/mm] begründet und das dann eingesetzt!
(Wenn Du so willst: Aus [mm] $x\,'=\;-\;y\,'$ [/mm] folgt, dass sowohl die Funktion [mm] $x=x(t)\,$ [/mm]
als auch die Funktion [mm] $\;-\;y=\;-\;y(t)\,$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $x\,'$ [/mm] ist (hierbei
soll natürlich [mm] $x\,$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $x\,'$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $y\,'$ [/mm]
sein, und [mm] $-\;y$ [/mm] ist definiert durch [mm] $(-\;y)(t):=-y(t)$ [/mm] für alle [mm] $t\,.$)
[/mm]
Also gilt [mm] $x(t)\equiv-y(t)+c\,,$ [/mm] denn Stammfunktionen sind nur eindeutig bis auf
eine Konstante (=konstante Funktion)....
Formal (da ich jetzt nicht alle Voraussetzungen der Aufgabe im Kopf habe,
einfach mal 'lasch' notiert)
[mm] $$x'(t)\equiv-\;y'(t) \iff \frac{d}{dt}x(t)\equiv\;-\;\frac{d}{dt}y(t) \;\;\;\Longrightarrow\;\;\; \int \frac{d}{dt}x(t) dt\equiv\int \left(-\;\frac{d}{dt}y(t)\right)dt$$
[/mm]
etc. pp.!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Do 23.05.2013 | | Autor: | Pia90 |
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > Ich beschäftige mich zurzeit ebenfalls mit dieser
> > > > Aufgabe.
> > > >
> > > > >
> > > > > man sieht sofort:
> > > > >
> > > > > x'(t)=-y'(t),
> > > >
> > > > Dies sieht man doch anhand der Matrix, oder? In der
> > > > Hinsicht ist mir das klar. Ich wollte das allerdings gerade
> > > > kurz aufschreiben, doch das gelingt mir noch nicht so
> > > > ganz... Das x'(t) hier entspricht nicht dem x aus der
> > > > Aufgabenstellung, oder? Wenn doch, dann ist es mir
> > > > vielleicht doch noch nicht so ganz klar...
> > >
> > > nein - Fred hat sowas wie [mm]\text{x}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}[/mm]
> > > gemeint (ist keine schöne Notation
> > > hier)!
> > >
> > > > Laut Aufgabenstellung ist ja x' = [mm]A(t)x=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }[/mm]
> > > > x
> > > >
> > > > Dazu habe ich mir nun überlegt, dass mit [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> > > > das ganze nun
> > > > x' = [mm]A(t)x=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }[/mm] x=
> > > > [mm]\vektor{-a(t)x_1 +b(t)x_2 \\ a(t)x_1 - b(t)x_2}[/mm] ist.
> > > > und da seh ich ja nun, dass die eine Komponente
> > einfach
> > > > das negative der anderen ist und kann folglich sagen, dass
> > > > [mm]x_1'(t)=x_2'(t)[/mm]
> > >
> > > Du sagst es richtig, in der Gleichung fehlt aber ein Minus
> > >
> > > [mm]x_1'(t)=\red{\text{ -- }}x_2'(t)\,.[/mm]
> > >
> > > > So ist das gemeint, oder? Also wäre das so korrekt?
> > >
> > > Klar - Du überzeugst Dich doch mit Deiner eigenen
> > > Rechnung davon!
> > >
> > > Nebenbei:
> > > Fred hat das "sofort" gesehen, weil
> > >
> >
> [mm]A(t)=\vektor{a_1(t)\\a_2(t)}=\vektor{a_1(t)\\\;-\;a_1(t)}\,.[/mm]
> > > Die zweite Zeile von [mm]A\,[/mm] ist also einfach das
> Negative
> > der
> > > ersten!
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> > Vielen, vielen Dank!
> >
> > Dann habe ich noch eine weitere Frage bezüglich Freds
> > Tipps
> > "man sieht sofort:
> >
> > x'(t)=-y'(t),
> >
> > also:
> >
> > y(t)=-x(t)+c.
> >
> > Wegen [mm]z_2=y(0)=-x(0)+c=-z_1+c[/mm] und [mm]z_1+z_2=0[/mm] ist c=0.
> >
> > Damit haben wir:
> >
> > x'(t)+(a(t)+b(t))x(t)=0 und [mm]x(0)=z_1.[/mm]
> >
> >
> >
> > Löse dieses Anfangswertproblem. "
> >
> > Und zwar verstehe ich noch nicht ganz wie wir auf das
> > "Damit haben wir" kommen...
> > Ist das jetzt wieder das Ausgangs-x oder die erste
> > Komponente des Vektors?
>
> Fred hat nur einmal ein ungünstige Notation der Art
> [mm]\text{x}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}[/mm] gewählt.
> Der will niemanden hiermit ärgern - im Prinzip hat er
> das ja auch noch nicht
> mal so hingeschrieben, er hat einfach nur nicht beachtet,
> dass da anfangs
> [mm]x'(t)=A...\,[/mm] steht, und [mm]x\,[/mm] schon als "Vektorvariable"
> verwendet wird!
Meine Rückfrage war auch nicht böse gemeint! Ich wollte zur Sicherheit nur (also bevor ich etwas falsch verstehe) lieber nochmal nachfragen :)
>
> Also: [mm]x(t)\,[/mm] ist bei ihm IMMER die erste Komponente, [mm]y(t)\,[/mm]
> IMMER die zweite:
> [mm]x \;\hat{=}\;x_1[/mm] und [mm]y \;\hat{=}\;x_2\,.[/mm]
>
> > Also wäre das im Grunde
> > [mm]x_1'(t)+(a(t)+b(t))x_1(t)=0[/mm] und $ [mm]x_1(0)=z_1,[/mm] wenn
> > [mm]x'(t)=\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}?[/mm]
>
> Ja!
>
> > Also der Schritt ist mir
> > irgendwie noch nicht ganz klar...
>
> Wieso? Er hat vorher [mm]c=0\,[/mm] begründet und das dann
> eingesetzt!
Ich muss total auf dem Schlauch gestanden haben, aber jetzt habe ich es endlich raus und kann mich dem Anfangswertproblem widmen!
Vielen Dank für eure tatkräftige und geduldige Hilfe bisher!
>
> (Wenn Du so willst: Aus [mm]x\,'=\;-\;y\,'[/mm] folgt, dass sowohl
> die Funktion [mm]x=x(t)\,[/mm]
> als auch die Funktion [mm]\;-\;y=\;-\;y(t)\,[/mm] eine Stammfunktion
> von [mm]x\,'[/mm] ist (hierbei
> soll natürlich [mm]x\,[/mm] eine Stammfunktion von [mm]x\,'[/mm] und [mm]y\,[/mm]
> eine Stammfunktion von [mm]y\,'[/mm]
> sein, und [mm]-\;y[/mm] ist definiert durch [mm](-\;y)(t):=-y(t)[/mm] für
> alle [mm]t\,.[/mm])
> Also gilt [mm]x(t)\equiv-y(t)+c\,,[/mm] denn Stammfunktionen sind
> nur eindeutig bis auf
> eine Konstante (=konstante Funktion)....
>
> Formal (da ich jetzt nicht alle Voraussetzungen der Aufgabe
> im Kopf habe,
> einfach mal 'lasch' notiert)
> [mm]x'(t)\equiv-\;y'(t) \iff \frac{d}{dt}x(t)\equiv\;-\;\frac{d}{dt}y(t) \;\;\;\Longrightarrow\;\;\; \int \frac{d}{dt}x(t) dt\equiv\int \left(-\;\frac{d}{dt}y(t)\right)dt[/mm]
>
> etc. pp.!)
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Do 23.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Und zwar verstehe ich noch nicht ganz wie wir auf das
> > > "Damit haben wir" kommen...
> > > Ist das jetzt wieder das Ausgangs-x oder die erste
> > > Komponente des Vektors?
> >
> > Fred hat nur einmal ein ungünstige Notation der Art
> > [mm]\text{x}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}[/mm] gewählt.
> > Der will niemanden hiermit ärgern - im Prinzip hat
> er
> > das ja auch noch nicht
> > mal so hingeschrieben, er hat einfach nur nicht
> beachtet,
> > dass da anfangs
> > [mm]x'(t)=A...\,[/mm] steht, und [mm]x\,[/mm] schon als "Vektorvariable"
> > verwendet wird!
>
> Meine Rückfrage war auch nicht böse gemeint!
das habe ich auch nicht so aufgefasst. Aber mal ein kleiner Tipp: Du gibst
doch eigentlich selbst gute Begründungen, wann Du hier was wie auffasst.
Warum bist Du denn so skeptisch Dir selbst gegenüber? Ich meine: Du
siehst doch, dass mit Deiner "Auffassung" alles zusammenpasst. Wäre das
nicht so, würde ich die Skepsis verstehen. Sei einfach mal - etwas mehr -
selbstsicher. Selbst, wenn es dann falsch ist, wirst Du selbst an irgendeiner
Stelle drüber grübeln oder jemand anderes wird Dich etwas fragen, wo Du
sagst: "Mhm, stimmt, das macht so keinen Sinn. Da habe ich wohl was
falsch verstanden..."
> Ich wollte
> zur Sicherheit nur (also bevor ich etwas falsch verstehe)
> lieber nochmal nachfragen :)
Ich habe nichts dagegen - nur, so wartest Du immer auf 'ne Antwort,
bevor's weitergeht. Wenn Du einfach mal weitermachst und dann nicht
weiterkommst und Deine Überlegungen zeigst, sagen wir Dir eh, wenn wir
sehen, dass Du da was falsch gemacht oder verstanden hast. Verstehst
Du, worauf ich hinaus will? In einer Klausur kannst Du ja auch nicht jeden
Rechenschritt kontrollieren lassen, bevor Du weitermachst. Und wenn Du
später mal in Projekten arbeitest, sagt man auch lieber: Lieber mal etwas
falsch gemacht und dann kontrolliert und korrigiert, als tagelang auf einer
Stelle rumgetreten und auf etwas gewartet zu haben, ohne irgendwie
weiter gekommen zu sein...
> >
> > Also: [mm]x(t)\,[/mm] ist bei ihm IMMER die erste Komponente, [mm]y(t)\,[/mm]
> > IMMER die zweite:
> > [mm]x \;\hat{=}\;x_1[/mm] und [mm]y \;\hat{=}\;x_2\,.[/mm]
> >
> > > Also wäre das im Grunde
> > > [mm]x_1'(t)+(a(t)+b(t))x_1(t)=0[/mm] und $ [mm]x_1(0)=z_1,[/mm] wenn
> > > [mm]x'(t)=\vektor{x_1(t) \\ x_2(t)}?[/mm]
> >
> > Ja!
> >
> > > Also der Schritt ist mir
> > > irgendwie noch nicht ganz klar...
> >
> > Wieso? Er hat vorher [mm]c=0\,[/mm] begründet und das dann
> > eingesetzt!
>
> Ich muss total auf dem Schlauch gestanden haben, aber jetzt
> habe ich es endlich raus und kann mich dem
> Anfangswertproblem widmen!
Siehste! 
> Vielen Dank für eure tatkräftige und geduldige Hilfe
> bisher!
Gerne!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:40 Sa 25.05.2013 | | Autor: | Pia90 |
> > Seien a,b: [mm][0,\infty)\to [0,\infty)[/mm] stetig und sei
> >
> > A(t) = [mm]\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }.[/mm]
> >
> > Betrachte x' = A(t)x, x(0) = [mm]\vektor{z_{1} \\ z_{2}}[/mm]
> >
> > für [mm]z_{1}[/mm] + [mm]z_{2}[/mm] = 0 und [mm]z_{1} \not= z_{2}[/mm]
> >
> > a) Zeigen Sie: die Lösung x konvergiert genau dann für t
> > [mm]\to \infty[/mm] gegen 0, wenn
> >
> > [mm]F:[0,\infty) \to \IR,[/mm] t [mm]\mapsto \integral_{t}^{0}{a(s) +b(s) ds}[/mm]
> > unbeschränkt ist.
> >
> >
> > Ich habe leider keinen Ansatz, könnt ihr mir weiter
> > helfen?
> >
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
>
>
> man sieht sofort:
>
> x'(t)=-y'(t),
>
> also:
>
> y(t)=-x(t)+c.
>
> Wegen [mm]z_2=y(0)=-x(0)+c=-z_1+c[/mm] und [mm]z_1+z_2=0[/mm] ist c=0.
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> Damit haben wir:
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> x'(t)+(a(t)+b(t))x(t)=0 und [mm]x(0)=z_1.[/mm]
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> Löse dieses Anfangswertproblem.
>
> fred
Hallo zusammen,
ich habe nun mal versucht dieses Anfangswertproblem zu lösen.
Dann habe ich doch direkt:
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] z_1*exp(\integral_{0}^{t}{-(a(s)+b(s)) ds}) [/mm] = [mm] z_1* \bruch{1}{exp(\integral_{0}^{t}{a(s)+b(s) ds})}
[/mm]
Ich habe mir überlegt, dass der Nenner des Bruchs für t [mm] \to \infty [/mm] konvergiert. Denn ich habe ja dann ein uneigentliches Integral und positive stetige Funktionen. Damit wird exp ja immer größer. Aber wie schreibe ich das vernünftig auf?
Dadurch dass der Nenner ja gegen [mm] \infty [/mm] läuft, läuft der gesamte Bruch gegen 0 und damit auch [mm] \phi(x) [/mm] gegen 0 (für t [mm] \to \infty).
[/mm]
Allerdings habe ich damit noch nicht direkt das gezeigt, was zu zeigen war, oder? Ich bekomme es noch nicht ganz hin von dem was ich jetzt gezeigt habe, zur Aufgabenstellung zurückzukommen... Kann mir da vielleicht nochmal jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 27.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 14:00 So 26.05.2013 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
es geht im Grunde immer noch um die oben angegebene Aufgabe, allerdings nun weiterführend.
Nochmal zusammenfassend, was wir bisher wissen:
[mm] a,b:[0,\infty) \to [0,\infty) [/mm] stetig
[mm] A(t)=\pmat{ -a(t) & b(t) \\ a(t) & -b(t) }
[/mm]
x'(t)=A(t)x, [mm] x(0)=\vektor{z_1 \\ z_2} [/mm] für [mm] z_1+z_2=0 [/mm] und [mm] z_1 \not= z_2 [/mm] (*)
Es wurde gezeigt, dass die Lösung x genau dann für t [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 konvergiert, wenn [mm] F:[0,\infty) \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto \integral_{0}^{t}{a(s)+b(s) ds} [/mm] unbeschränkt ist.
Ich soll nun untersuchen, ob die Lösung x von (*) mit [mm] z_1=-z_2=1 [/mm] und
a) [mm] a(t)=|sin^6(t)cos(ln(t+1))t| [/mm] und b(t)= [mm] \bruch{1}{(t+1)^2}
[/mm]
b) [mm] a(t)=\bruch{1}{(t+1)^3}|sin(t+1)| [/mm] und b(t) = [mm] \bruch{1}{(t+1)^2}
[/mm]
für t [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 konvergiert.
Allgemein weiß ich, dass
[mm] x_2(t)=-x_1(t)+c
[/mm]
Es ist [mm] z_2=x_2(0)=-x_1(0)+c=-z_1+c [/mm] und [mm] z_1+z_2=1
[/mm]
Damit folgt also nun c=1.
Ich habe also [mm] x_1'(t)+(a(t)+b(t))x_1 [/mm] - b(t) = 0
Meine erste Überlegung war, dass ich nun ja jeweils für a) und b) das Anfangswertproblem lösen kann und dann gucken, ob die Lösung für t [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 konvergiert. Bereits die Lösungen schauen allerdings schon sehr kompliziert aus und ich frage mich, ob es sich nicht leichter lösen lässt? Vor allem in Hinblick auf den ersten Aufgabenteil.
Denn es wurde ja gezeigt, dass die Lösung x genau dann für t [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 konvergiert, wenn [mm] F:[0,\infty) \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto \integral_{0}^{t}{a(s)+b(s) ds} [/mm] unbeschränkt ist.
Ich habe nun überlegt, ob es also ausreichen würde, wenn ich untersuche, ob F unbeschränkt ist. Allerdings hatte ich ja zuvor eine andere Lösung, da [mm] z_1+z_2=0 [/mm] war und das c war somit 0 und nun habe ich [mm] z_1+z_2=1 [/mm] und folglich c=1. (also zuvor war das zu lösende AWP ja [mm] x_1'(t) [/mm] + [mm] (a(t)+(b(t))x_1(t)=0 [/mm] und [mm] x_1(0)=z_1 [/mm] und nun habe ich ja [mm] x_1'(t) [/mm] + [mm] (a(t)+(b(t))x_1(t) [/mm] - b(t) =0 und [mm] x_1(0)=z_1)
[/mm]
Versteht ihr was ich meine, also mein Problem?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 So 26.05.2013 | | Autor: | Pia90 |
Niemand, der mir hier weiterhelfen kann?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Mo 27.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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