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| Aufgabe | Sei [mm] A\in\Ir^{n\times n}, [/mm] dann gilt [mm] e^{A^{T}}=\left[e^{A}\right]^{T}. [/mm] Nutzen Sie dieses Resultat um zu zeigen, dass
1) wenn A schiefsymmetrisch ist, dann ist [mm] e^{A} [/mm] orthogonal
2)jede Lösung [mm] \textbf{x} [/mm] des Systems [mm] \dot{\textbf{x}}(t)=A\textbf{x}(t) [/mm] hat konstante [mm] \parallel\textbf{x}(t)\parallel_{2}\ \forall t\in\IR [/mm] |
Hallo,
der erste Teil war kein Problem. 2) hingegen schon.
Lösungen von [mm] \dot{\textbf{x}}(t)=A\textbf{x(t)} [/mm] sind gegeben durch [mm] x(t)=e^{At}\xi [/mm] , [mm] \xsi\in\IR. [/mm] D.h. es handelt sich bei [mm] \parallel\textbf{x}(t)\parallel_{2} [/mm] um eine Vektornorm, richtig ?
Da wir noch nicht viel mit Normen und ihren Eigenschaften gearbeitet haben, frage ich einfach, das ist doch nichts anderes als die Länge des Vektors, oder ?
Meine einzige Lösungsidee basiert eigentlich darauf, dass man für die 2-Norm einer Matrix zeigen kann, dass sie der Quadratwurzel des größten Eigenwertes von [mm] A^{T}A [/mm] entspricht. Leider sind mir dort aber Lösungsvektoren gegeben... Ich schaffe es auch nicht, das ganze unabhängig von t zu machen.
Also prinzipiell bin ich doch ratlos....
Wäre dankbar für Lösungsansätze !
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Mo 31.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
nehme [mm] \dot{\textbf{x}}(t)=A\textbf{x}(t) [/mm] mit [mm] A=\alpha\in\IR [/mm] und x(0)=1
dann gilt [mm] x(t)=e^{\alpha*t}
[/mm]
und [mm] \parallel{x(t)}\parallel_2=e^{\alpha*t}
[/mm]
und das ist nicht von t unabhängig.
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Hallo,
danke für die Antwort. Dann habe ich offenbar die Frage falsch verstanden, ist es einfach so gemeint, dass die 2-Norm einer Lösung immer konstant ist ?
Hier nochmal der original englische Wortlaut:
If [mm] A\in\IR^{n\times n}, [/mm] use the series definition of [mm] e^{A} [/mm] to prove that
[mm] e^{A^{T}}=[e^{A}]^{T}
[/mm]
Use this result to prove that if A is skew-symmetric [mm] (A^{T}=-A), [/mm] then
1) [mm] e^{A} [/mm] is an orthogonal matrix
2) each solution of [mm] \dot{x}(t)=A*x(t) [/mm] has constant [mm] ||x(t)||_{2} \forall t\in\IR [/mm] .
Das die Norm konstant ist, ist mir schon klar.... Ist die Frage viel einfacher als ich dachte ? Wo kommt [mm] e^{A^{T}}=[e^{A}]^{T} [/mm] ins Spiel ? Ist meine Vemutung mit der Äquivalenz von matrix 2-Norm und Qudratwurzel des größten Eigenwertes von [mm] A^{T}A [/mm] falsch ?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> danke für die Antwort. Dann habe ich offenbar die Frage
> falsch verstanden, ist es einfach so gemeint, dass die
> 2-Norm einer Lösung immer konstant ist ?
Ja
>
> Hier nochmal der original englische Wortlaut:
>
> If [mm]A\in\IR^{n\times n},[/mm] use the series definition of [mm]e^{A}[/mm]
> to prove that
>
> [mm]e^{A^{T}}=[e^{A}]^{T}[/mm]
>
> Use this result to prove that if A is skew-symmetric
> [mm](A^{T}=-A),[/mm] then
>
> 1) [mm]e^{A}[/mm] is an orthogonal matrix
>
> 2) each solution of [mm]\dot{x}(t)=A*x(t)[/mm] has constant
> [mm]||x(t)||_{2} \forall t\in\IR[/mm] .
>
> Das die Norm konstant ist, ist mir schon klar.... Ist die
> Frage viel einfacher als ich dachte ?
Ja
> Wo kommt
> [mm]e^{A^{T}}=[e^{A}]^{T}[/mm] ins Spiel ?
Das brauchst Du für 1)
> Ist meine Vemutung mit
> der Äquivalenz von matrix 2-Norm und Qudratwurzel des
> größten Eigenwertes von [mm]A^{T}A[/mm] falsch ?
Das brauchst Du nicht.
1. Wenn A schiefsym. ist, so gilt für jedes z [mm] \in \IR^n, [/mm] (dabei bezeichne (*|*) das Skalarprodukt auf [mm] \IR^n):
[/mm]
(Az|z)= (z|A^Tz)= (z|-Az)= -(Az|z), also (Az|z)=0
2. Sei x eine Lösung von $ [mm] \dot{x}(t)=A\cdot{}x(t) [/mm] $ und setze
$f(t):= [mm] ||x(t)||_2$ [/mm] (t [mm] \in \IR)
[/mm]
Beachte, dass $f(t)=(x(t)|x(t))$ ist.
Solltest Du nun herausbekommen, dass f'(t)=0 ist für jedes t, so bist Du fertig.
Also: differenziere f und nutze aus, dass x eine Lösung von $ [mm] \dot{x}(t)=A\cdot{}x(t) [/mm] $ ist.
FRED
>
> LG
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Hallo nochmal,
> > Hallo,
> >
> > danke für die Antwort. Dann habe ich offenbar die Frage
> > falsch verstanden, ist es einfach so gemeint, dass die
> > 2-Norm einer Lösung immer konstant ist ?
>
>
> Ja
>
>
> >
> > Hier nochmal der original englische Wortlaut:
> >
> > If [mm]A\in\IR^{n\times n},[/mm] use the series definition of [mm]e^{A}[/mm]
> > to prove that
> >
> > [mm]e^{A^{T}}=[e^{A}]^{T}[/mm]
> >
> > Use this result to prove that if A is skew-symmetric
> > [mm](A^{T}=-A),[/mm] then
> >
> > 1) [mm]e^{A}[/mm] is an orthogonal matrix
> >
> > 2) each solution of [mm]\dot{x}(t)=A*x(t)[/mm] has constant
> > [mm]||x(t)||_{2} \forall t\in\IR[/mm] .
> >
> > Das die Norm konstant ist, ist mir schon klar.... Ist die
> > Frage viel einfacher als ich dachte ?
>
>
> Ja
>
> > Wo kommt
> > [mm]e^{A^{T}}=[e^{A}]^{T}[/mm] ins Spiel ?
>
> Das brauchst Du für 1)
>
> > Ist meine Vemutung mit
> > der Äquivalenz von matrix 2-Norm und Qudratwurzel des
> > größten Eigenwertes von [mm]A^{T}A[/mm] falsch ?
>
>
> Das brauchst Du nicht.
>
> 1. Wenn A schiefsym. ist, so gilt für jedes z [mm]\in \IR^n,[/mm]
> (dabei bezeichne (*|*) das Skalarprodukt auf [mm]\IR^n):[/mm]
>
> (Az|z)= (z|A^Tz)= (z|-Az)= -(Az|z), also (Az|z)=0
Woher nimmst Du, dass (Az|z)= (z|A^Tz) ? Das kann ich mir nicht klar machen, der Rest ist einleuchtend.
> 2. Sei x eine Lösung von [mm]\dot{x}(t)=A\cdot{}x(t)[/mm] und
> setze
>
>
> [mm]f(t):= ||x(t)||_2[/mm] (t [mm]\in \IR)[/mm]
>
> Beachte, dass [mm]f(t)=(x(t)|x(t))[/mm] ist.
>
> Solltest Du nun herausbekommen, dass f'(t)=0 ist für jedes
> t, so bist Du fertig.
>
> Also: differenziere f und nutze aus, dass x eine Lösung
> von [mm]\dot{x}(t)=A\cdot{}x(t)[/mm] ist.
>
> FRED
>
>
> >
> > LG
>
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Mi 02.02.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Woher nimmst Du, dass (Az|z)= (z|A^Tz) ? Das kann ich mir
> nicht klar machen, der Rest ist einleuchtend.
[mm] (Az|z)=(Az)^{T}z=z^TA^Tz=(z|A^Tz)
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Mi 02.02.2011 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
ich bin ein Blindfisch ! Danke Dir.
Gute Nacht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 04.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Di 01.02.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
da ich die Frage auch am Anfang falsch verstanden habe, hier noch der Hinweis, wenn Du den Tipp von FRED benutzt, musst Du noch benutzten, dass A schiefsymmetrisch ist. Ist A nicht schiefsymmetrisch ist die Aussage auch nicht richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich bin hiervon ausgegangen:
Use this result to prove that if A is skew-symmetric $ [mm] (A^{T}=-A), [/mm] $ then
1) $ [mm] e^{A} [/mm] $ is an orthogonal matrix
2) each solution of $ [mm] \dot{x}(t)=A\cdot{}x(t) [/mm] $ has constant $ [mm] ||x(t)||_{2} \forall t\in\IR [/mm] $
Für Punkt 2) ist also A als schiefsymmetrisch vorausgesetzt
Für nich schiefsymmetrisches A funktioniert mein Vorschlag natürlich nicht
FRED
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Hallo ihr beiden,
vielen Dank für eure Mühe. Das mit dem schiefsymmetrischen Fall ist mir jetzt klar, ein schöner Beweis, wie ich finde !
Ich muss aber doch noch einmal nachfragen, gibt es eine Möglichkeit das ganze allgemein für A zu zeigen? Ich denke nämlich, dass das die Aufgabe ist...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Di 01.02.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
im Allgemeinen gilt die Aussage nicht, s. das eindimensionales Beispiel am Anfang mit [mm] \alpha\ne{0}
[/mm]
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