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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Sa 28.01.2012 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Man betrachte die Funktion [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] e^{-x}u^{Schlange}(x),
[/mm]
wobei [mm] u^{Schlange} [/mm] die vermöge
[mm] u^{Schlange}: \IR [/mm] -> [mm] \IR, u^{Schlange}(x)= [/mm] 1 für x>0 , 0,5 für x=0 , 0 für x<0
erklärte Variante der Heaviside-Funktion bezeichne.
Ermitteln Sie die eindeutig bestimmte Lösung u: [mm] \IR [/mm] x [mm] [0,\infty) [/mm] -> [mm] \IR,
[/mm]
(x,t) -> u(x,t) der partiellen Differentialgleichung
[mm] \delta_{t}u [/mm] + [mm] \delta_{x}u [/mm] +u = f(x)
mit Anfangsbedingung u(x,0) =0. Nutzen Sie dazu Foriertransformation bezüglich x, und leiten Sie insbesondere die Foriertransformierte
U(w,t) = [mm] -e^{-t}e^{-iwt}\frac{1}{(1+iw)^{2}} [/mm] + [mm] \frac{1}{(1+iw)^{2}} [/mm] (*)
von u(x,t) her.
Hinweis: Wenn Sie U(w,t) nicht herleiten können, verwenden Sie (*), um die Lösung u(x,t) zu ermitteln. |
Kann mir Jemand grob sagen, wie man bei dieser Aufgabe vorgeht?
Habe die Gleichung [mm] $\delta_{t}u [/mm] + [mm] \delta_{x}u [/mm] +u = f(x)$ in den Frequenzbereich transformiert.
Im Frequenzbereich lautet diese:
[mm] $\delta_{t}U [/mm] + iwU +U = [mm] \frac{1}{1+iw}$
[/mm]
Jetzt soll ich die Differentialgleichung lösen aber wie mache ich das?
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Hallo zoj,
> Man betrachte die Funktion [mm]f:\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm] f(x) =
> [mm]e^{-x}u^{Schlange}(x),[/mm]
> wobei [mm]u^{Schlange}[/mm] die vermöge
> [mm]u^{Schlange}: \IR[/mm] -> [mm]\IR, u^{Schlange}(x)=[/mm] 1 für x>0 ,
> 0,5 für x=0 , 0 für x<0
> erklärte Variante der Heaviside-Funktion bezeichne.
>
> Ermitteln Sie die eindeutig bestimmte Lösung u: [mm]\IR[/mm] x
> [mm][0,\infty)[/mm] -> [mm]\IR,[/mm]
> (x,t) -> u(x,t) der partiellen Differentialgleichung
> [mm]\delta_{t}u[/mm] + [mm]\delta_{x}u[/mm] +u = f(x)
> mit Anfangsbedingung u(x,0) =0. Nutzen Sie dazu
> Foriertransformation bezüglich x, und leiten Sie
> insbesondere die Foriertransformierte
> U(w,t) = [mm]-e^{-t}e^{-iwt}\frac{1}{(1+iw)^{2}}[/mm] +
> [mm]\frac{1}{(1+iw)^{2}}[/mm] (*)
> von u(x,t) her.
> Hinweis: Wenn Sie U(w,t) nicht herleiten können,
> verwenden Sie (*), um die Lösung u(x,t) zu ermitteln.
> Kann mir Jemand grob sagen, wie man bei dieser Aufgabe
> vorgeht?
>
> Habe die Gleichung [mm]\delta_{t}u + \delta_{x}u +u = f(x)[/mm] in
> den Frequenzbereich transformiert.
> Im Frequenzbereich lautet diese:
>
> [mm]\delta_{t}U + iwU +U = \frac{1}{1+iw}[/mm]
>
> Jetzt soll ich die Differentialgleichung lösen aber wie
> mache ich das?
>
Zuerst löst Du die homogene DGL durch Trennung der Variablen:
[mm]\delta_{t}U + iwU +U = 0[/mm]
Für die partikuläre Lösung kannst Du den Ansatz
[mm]U_{p}=A*t+B[/mm]
verwenden.
Gruss
MathePower
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