Lösung mit Residuenmethode < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Do 22.01.2009 | | Autor: | DerGraf |
Hallo, ich soll das Integral:
[mm] \int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{(a+b*cos(x))^2}dx
[/mm]
mit a>b>0 mit Hilfe der Residuenmethode lösen:
Mein Ansatz:
[mm] \int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{(a+b*cos(x))^2}dx=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{1}{z(a+b/2(z+1/z))^2}dz=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{1}{a^2z+abz^2+ab+(b^2/4)z^3+(b^2/2)z+(b^2/4)z^{-1}}dz
[/mm]
Bestimmung der Nullstellen des Nenners:
[mm] 0=a^2z+abz^2+ab+(b^2/4)z^3+(b^2/2)z+(b^2/4)z^{-1}
[/mm]
[mm] 0=a^2z^2+abz^3+abz+(b^2/4)z^4+(b^2/2)z^2+(b^2/4)
[/mm]
[mm] 0=z^4+(4a/b)z^3+((4a^2/b^2)+2)z^2+(4a/b)z+1
[/mm]
Ab hier komme ich nicht weiter. Ich brauche die Nullstellen für die Residuenmethode, weiß aber nicht so ganz, wie ich die bekomme. Auf die Lösungsformel für Polynome 4. Grades würde ich nach Möglichkeit gerne verzichten :)
Hat jemand von euch eine Idee?
Gruß DerGraf
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Hallo DerGraf,
> Hallo, ich soll das Integral:
>
> [mm]\int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{(a+b*cos(x))^2}dx[/mm]
>
> mit a>b>0 mit Hilfe der Residuenmethode lösen:
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{(a+b*cos(x))^2}dx=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{1}{z(a+b/2(z+1/z))^2}dz=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{1}{a^2z+abz^2+ab+(b^2/4)z^3+(b^2/2)z+(b^2/4)z^{-1}}dz[/mm]
>
> Bestimmung der Nullstellen des Nenners:
>
> [mm]0=a^2z+abz^2+ab+(b^2/4)z^3+(b^2/2)z+(b^2/4)z^{-1}[/mm]
>
> [mm]0=a^2z^2+abz^3+abz+(b^2/4)z^4+(b^2/2)z^2+(b^2/4)[/mm]
>
> [mm]0=z^4+(4a/b)z^3+((4a^2/b^2)+2)z^2+(4a/b)z+1[/mm]
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> Ab hier komme ich nicht weiter. Ich brauche die Nullstellen
> für die Residuenmethode, weiß aber nicht so ganz, wie ich
> die bekomme. Auf die Lösungsformel für Polynome 4. Grades
> würde ich nach Möglichkeit gerne verzichten :)
>
> Hat jemand von euch eine Idee?
Forme das so um:
[mm] \int_{0}^{2\pi} \bruch{1}{(a+b\cdot{}cos(x))^2}dx=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{1}{z(a+b/2(z+1/z))^2}dz=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{z^{2}}{z*\left(\bruch{b}{2}*z^{2}+a*z+\bruch{b}{2}\right)^{2}}dz [/mm]
[mm]=\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{z}{\left(\bruch{b}{2}*z^{2}+a*z+\bruch{b}{2}\right)^{2}}dz =\bruch{1}{i}\int_{\partial B_r(0)} \bruch{4z}{\left(b*z^{2}+2*a*z+b\right)^{2}}dz [/mm]
Jetzt kannst Du die Nullstellen explizit angeben
und somit die Residuen berechnen.
>
> Gruß DerGraf
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Do 22.01.2009 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank :)
So sieht das doch gleich viel angenehmer aus :)
Nach der Lösungsformel komme ich also auf:
[mm] -(a/b)\pm\wurzel{(a^2/b^2)-1)}
[/mm]
Ich melde mich dann wieder, wenn ich den Rest gerechnet habe!
Gruß DerGraf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Fr 23.01.2009 | | Autor: | DerGraf |
[mm] f(z)=\bruch{4z}{\left(b\cdot{}z^{2}+2\cdot{}a\cdot{}z+b\right)^{2}}=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(\left(z+\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)\left(z+\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)\right)^{2}}
[/mm]
Damit ist [mm] g(z)=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(z+\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^{2}}
[/mm]
und [mm] h(z)=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(z+\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^{2}}
[/mm]
Da [mm] \bruch{1}{(2-1)!}=1 [/mm] ist, muss ich also für meine Residuen nur noch meine Funktionen g und h ableiten und die entsprechenden Nullstellen einsetzen.
Für [mm] g'\left(-\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right) [/mm] erhalte ich das Residuum [mm] \bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3}
[/mm]
und für [mm] h'\left(-\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right) [/mm] erhalte ich das Residuum [mm] -\bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3}
[/mm]
Da das 2. Residuum ein negatives Vorzeichen hat, erhalte ich [mm] \bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3} [/mm] als Ergebnis meines Integrals.
Stimmt das jetzt alles so?
Gruß DerGraf
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Hallo DerGraf,
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> [mm]f(z)=\bruch{4z}{\left(b\cdot{}z^{2}+2\cdot{}a\cdot{}z+b\right)^{2}}=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(\left(z+\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)\left(z+\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)\right)^{2}}[/mm]
>
> Damit ist
> [mm]g(z)=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(z+\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^{2}}[/mm]
>
> und
> [mm]h(z)=\bruch{4z}{i\cdot{}b^2\left(z+\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^{2}}[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{1}{(2-1)!}=1[/mm] ist, muss ich also für meine
> Residuen nur noch meine Funktionen g und h ableiten und die
> entsprechenden Nullstellen einsetzen.
>
> Für
> [mm]g'\left(-\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)[/mm]
> erhalte ich das Residuum
> [mm]\bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3}[/mm]
Das brauchst Du hier nicht berechnen, da [mm]\vmat{-\bruch{a}{b}-\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}}>1[/mm]
>
> und für
> [mm]h'\left(-\bruch{a}{b}+\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)[/mm]
> erhalte ich das Residuum
> [mm]-\bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3}[/mm]
>
> Da das 2. Residuum ein negatives Vorzeichen hat, erhalte
> ich
> [mm]\bruch{i\cdot{}a}{b^3\left(\wurzel{\bruch{a^2}{b^2}-1}\right)^3}[/mm]
> als Ergebnis meines Integrals.
>
> Stimmt das jetzt alles so?
Das Residuum ist hier mit [mm]2\pi i[/mm] zu multiplizieren.
>
> Gruß DerGraf
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Fr 23.01.2009 | | Autor: | DerGraf |
Oh, da hast du recht. Vielen Dank für deine Hilfe :)
Gruß DerGraf
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